PKUSC2021口胡

PKUSC的题比THUSC的题高到不知道哪里去了。

既然反正都没有纸，只是锻炼的话，干嘛不去PKUSC？

以下全是口胡。因为没有数据甚至没有正式的题面所以都没有写。

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Day1T1

可以发现只需要关心是否同行同列。于是设\(f_{i,0/1,0/1}\)表示从行是否相同，列是否相同的某个地方走\(i\)步到某点的方案数。转移矩阵乘法即可。

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Day1T2

考虑如果每个点向后面第一个大于它的点连边，连出一棵树。一次询问相当于查某段祖先后代链的权值和。作差，变成求某个点到根的权值和。

现在维护个序列\(c\)，每个点记一下它的出现次数。一开始\(c=\{1,1,\dots,1\}\)。后面得到的\(a'\)都可以视作\(c_i\)个\(a_i\)顺次拼接。

一次修改相当于：对于\(c\)中的某个区间，找到其中的局部权值最小值，将其\(c_i\)减一；局部权值最大值，\(c_i\)加一。

一开始先连好边。如果某个点\(c_i=0\)，那么它在后面的处理都视作消失（比如不参与区间最小值的比较，不对答案产生贡献），但是树的形态不发生变化。这意味着询问的时候还是可以直接问某个点到根的贡献，只是忽略途中\(c_i=0\)的罢了。

标一下局部权值最小值是什么。搞个对局部最小值修改的标记，如果发现有减到\(0\)的就暴力下去修改。因为这个值在这之后就永久消失，所以可以势能分析。将某个\(c_i\)变成\(0\)的时候，查查后继将它标成局部最小值。

于是就是用线段树维护\(c_i\)以及一系列的操作（第几个，前驱后继，区间最大值等），用另一棵线段树维护每个点到根的贡献和。时间\(O(n\lg n)\)

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Day2T1

枚举哪条边被删除。删除后分成两个连通块，块内好算，直接算两两之间路径和。块间的可以考虑：相当于两个块中各拿出一条路径，然后拼接。那么也用块内两两之间路径和来计算。

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Day2T2

考虑一个看起来是对的贪心策略：暂时不考虑优惠券是否能花光，因为优惠券可以当钱使用，所以把它看做和钱同等地位。又因多花钱可以送优惠券，所以先尽量花钱。因为花钱送券时如果不是整除是不优的，所以尝试用优惠券尽量抵消掉\(a_i\mod c\)元。就这样一直做到最后，发现还有大量的优惠券，很浪费，那么就从后往前考虑，尝试尽量用优惠券来买这些商品。

总结一下，可以感受到最优解是：有个分界点\(mid\)，前面\(1\)到\(mid-1\)都是每个尽量用优惠券消耗\(a_i\mod c\)，\(mid+1\)到\(n\)都全部用优惠券购买。并且这个\(mid\)有可二分性。

二分\(mid\)然后判断。维护下\(1\)到\(mid-1\)能留下多少优惠券，\(mid+1\)到\(n\)总共要花多少钱等东西。前者要对区间维护：最多多少优惠券可以在这个区间被抵消，并且进入这个区间又出来之后新增了多少优惠券这样。（或者也可以这么看：\(b_i=a_i \mod c,d_i=\frac{a_i-b_i}{c}\)，设\(S_i\)表示搞完\(1\)到\(i\)之后的优惠券是多少。那么有\(S_i=\max(S_{i-1}-b_i,0)+d_i\)。对这个操作进行合并即可（当然也可以矩阵乘法））。

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Day2T3

假如知道了两个数小数部分的大小关系以及整数部分的差，就可以知道它们实际的差和\(k\)的大小关系。

可以DP：设\(f_{i,x,y,j,l}\)表示考虑了前\(i\)个数，最后两个数整数部分分别为\(x,y\)，小数部分在前\(i\)个数的排名分别是\(j,k\)，的方案数。

直接做时间是\(O(n^3m^2)\)（听说是可以前缀和转移）。

发现其实如果\(x-y>k\)则转移一样。那么只需要记\(x\)和\(x-y\)，并且\(x-y>k\)的一起处理。

因为\(k< \frac{2m}{n}\)。然后时间复杂度就变成了\(O(n^2m^2)\)。