伯努利数和自然数幂和

定义：\(B(x)=\sum_n\frac{B_nx^n}{n!}=\frac{x}{e^x-1}\)

易得递推式：\(B_0=1,\sum_{i=0}^n\binom{n+1}{i}B_i=0\)。

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自然数幂和：\(f(n,k)=\sum_{i=1}^{n} i^k\)。

定义\(n\)相同的自然数幂和的EGF：\(F_n(x)=\sum_{k} f(n,k)\frac{x^k}{k!}\)

\[F_n(x)=\sum_{k} f(n,k)\frac{x^k}{k!}\\ =\sum_{k} \frac{x^k}{k!} \sum_{i=1}^n i^k\\ =\sum_{i=1}^n \sum_k \frac{(ix)^k}{k!}\\ =\sum_{i=1}^n e^{ix}\\ =\frac{e^{(n+1)x}-e^x}{e^x-1} \]

\[=B(x)e^x(e^{nx}-1)\frac{1}{x}\\ 令：B'(x)=B(x)e^x=x+B(x)\\ （B'只是个符号和求导无关）\\ F_n(x)=B'(x)(e^{nx}-1)\frac{1}{x}\\ f(n,k)=k!\sum_{i=0}^{k}\frac{n^{k+1-i}}{(k+1-i)!}\frac{B'_i}{i!}\\ =\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}{i}n^{k+1-i}B'_{i} \]

注意这里最后用的\(B'\)：实际上伯努利数分\(B^+\)和\(B^-\)，前面讲的是\(B^-\)，这里的\(B'\)就是\(B^+\)，两者的区别在于\(B_1=\pm\frac{1}{2}\)。

另外，如果把自然数下标从\(0\)开始（即\(f(n,k)=\sum_{i=0}^{n} i^k\)），类似地推，可以得到\(f(n,k)=\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^k\binom{k+1}{i}(n+1)^{k+1-i}B_i\)。

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总结：

和另外几个常用的推自然数幂和的方法比较：

1. 第二类斯特林数：
   1. 优点：容易通过组合意义考虑，即使忘记式子也容易重新推出；可以不用除法。
   2. 缺点：朴素方法需要\(O(k^2)\)预处理斯特林数，如果\(k\)相同做到\(O(k\lg k)\)要写复杂的多项式做法求出；式子中含有下降幂，并不直接是多项式形式，不方便扩展。
2. 拉格朗日插值：
   1. 优点：预处理速度快。
   2. 缺点：一般是直接将\(n\)带入拉格朗日插值的式子中，不是直接生成多项式，若要生成多项式要多点插值（？），扩展性弱。
3. 伯努利数：
   1. 优点：可以直接生成关于\(n\)的多项式形式；某种程度上统一了对于不同的\(k\)，自然数幂和关于\(n\)的函数，扩展性强。
   2. 缺点：相对而言不是那么容易考场推出。