稳定匹配问题学习小记

问题

有\(n\)个男人，\(n\)个女人。每个男的心中都有对这\(n\)个女的优先级顺序，每个女的心中也有对这\(n\)个男的优先级顺序。

现在要找到一种匹配方式，使得不存在一对男女，互相认为对方比自己当前匹配的对象优。

---

算法

每个男人按照优先级顺序降序尝试向女人求婚，尝试过的不会再尝试。

每次找到一个单身男人（找不到结束），尝试跟下一个没有尝试过的女人求婚。

如果女人单身或者觉得当前配对对象不如这个男人，就把对象换成当前男人。

---

性质

有穷性：算法一定在\(n^2\)次内结束。

完美性：最后不会有单身男女。

稳定性：

如果存在\(B_0,G_0\)，当前匹配了\((B_0,G_1),(B_1,G_0)\)，但是\(B_0,G_0\)都觉得对方比当前对象更优。因为\(B_0\)在向\(G_1\)求婚之前，先向\(G_0\)求婚；但是\(G_0\)拒绝了它，因此\(B_1\)应该比\(B_0\)对于\(G_0\)更优，矛盾。

对于所有男性最优（最优定义为，对于某个男性而言，在所有的稳定匹配方案中，最优的对象）

假设\(B_0\)的最优匹配是\(G_0\)，然而算法流程中\(B_0\)被\(G_0\)拒绝了，并且也是第一个被最优对象拒绝的悲惨的男人。假设此时\(G_0\)匹配到了\(B_1\)。

因为\(B_0\)向\(G_0\)表白过但后面被拒绝了，所以在\(G_0\)心目中\(B_1\)比\(B_0\)优。

因为\(B_0\)是第一个被最优对象拒绝的，所以对于\(B_1\)来说，\(G_0\)不会劣于他的最优对象。

由定义得，存在一种稳定匹配的方案，最终\(B_0,G_0\)配对，\(B_1\)匹配的对象不优于\(B_1\)的最优对象。于是对\(B_1\)而言，\(B_1\)匹配的对象劣于\(G_0\)；又因对于\(G_0\)而言，\(B_1\)比\(B_0\)优。此时不稳定。

对于所有女性最劣：

如果女性\(G_0\)没有匹配到最劣匹配\(B_0\)，而是匹配到了\(B_1\)。

对于\(G_0\)来说\(B_1\)比\(B_0\)更优。

又因为男性最优，所以对于\(B_1\)来说\(G_0\)是最优的。

由定义得，存在一种稳定匹配的方案，最终\(B_0,G_0\)配对。然而在这个方案中，对于\(G_0\)来说\(B_1\)更优，对于\(B_1\)来说\(G_0\)最优，此时不稳定，矛盾。

---

小细节（YYT提醒）：在实现的时候，不能在外面循环\(n\)次，然后对里面的每个单身男人进行操作。因为可能有的男人当前不单身，但后来单身了，最终没有尝试过求婚过所有女人。