CF1508C. Complete the MST
有个完全图，其中\(m\)条边的权值已经被确定。现在要确定其它边的权值，要求最终所有权值异或和为\(0\)。最小化权值和。
\(n,m\le 2*10^5\)
称没有被确定权值的边为零边。设已经被确定的权值的异或和为\(W\)。
无视限制，把零边的边权设为\(0\)，然后跑MST。如果存在零边不在MST内，那就把这条零边的权值设为\(W\)。显然此时最优。如果\(W=0\)，显然此时也最优。
否则：零边全在MST内，\(W\neq 0\)。以下证明，存在一种方案，只有一个零边权值为\(W\)，其它权值为\(0\)，此时最优。
假设存在种最优的不满足这个条件的对零边赋值的方案，跑MST。如果存在一个零边不在MST内，则令其它的零边权值为\(0\)，它的权值为\(W\)，答案不会更劣；否则，任选一条零边，其它零边权值为\(0\)，它的权值为\(W\)，答案不变。
做法分为两部分：1. 对零边建出一棵生成森林。2. 枚举权值为\(W\)的零边，计算MST。
第一部分：
我的做法：用并查集维护连通块。枚举点\(x\)，\(x\)要和\(O(deg_x)\)个编号区间连边。维护\(nxt_i\)表示\([i,nxt_i]\)都在一个连通块内，也可以用并查集来维护。现在给某个编号区间连边，把这个区间里原来在不同连通块内的各个区间分别取个点连，然后更新\(nxt\)。这样时间是\(O(m)\)（并查集时间忽略）的。
dyp的做法：对于每个连通块维护个线段树，线段树节点记编号区间中是否存在点不在连通块内。每次遍历线段树，找到一个不在连通块内的点，然后进行线段树合并。时间\(O(m\lg n)\)。可以优化：枚举起点，维护个链表，这个链表中存下不在和起点同连通块内的点。设当前点为\(x\)，遍历链表，对于和\(x\)不相邻的点，将其加入连通块并从链表中删去，并把这个点加入队列（或dfs）。时间\(O(m)\)。
gmh77的做法：找到度数最小的点\(r\)，用它暴力连边。接下来和它不在同个连通块内的点的个数为\(deg_r\)，\(deg_r\le \frac{2m}{n}\)。对于这\(deg_r\)个点分别暴力连边，于是连了\(O(\frac{2m}{n} n)\)条边，就是\(O(m)\)的了。
第二部分：
我的做法：如果生成森林中没有用到所有的零边，答案已经确定；否则，\(m+cnt_{零边}=\frac{n(n-1)}{2}\)，所以\(n=O(\sqrt m)\)。枚举\(O(n)\)个零边作为\(W\)，暴力跑MST，朴素实现\(O(nm)\)。优化：实际上可以先对确定边跑MST，用在MST中的边跑这里的MST，时间\(O(n^2)\)。于是时间是\(O(\min(n^2,m))\)。
dyph和gmh77的做法：考虑计算权值为\(W\)的边不在最终的MST的情况。对确定边跑MST，合并零边和确定边的MST。如果有某个确定边，它在确定边的MST中而不在零边和确定边的MST中，说明存在一个零边将其替换，换句话说也可以用它来替换这个零边。于是找到这样的边的最小边权，用它替换权值为\(W\)的邻边。
using namespace std;
#include <bits/stdc++.h>
#define N 200005
#define ll long long
int n,m;
int xo;
int deg[N];
struct edge{int u,v,w;} ed[N+N];
bool cmped(edge x,edge y){return x.w<y.w;}
vector<int> nei[N];
set<pair<int,int> > bz;
edge ep[N];
int cnt;
int dsu[N];
int getdsu(int x){return dsu[x]==x?x:dsu[x]=getdsu(dsu[x]);}
ll MST(int ban){
ll ans=0;
for (int i=1;i<=n;++i)
dsu[i]=i;
for (int i=1;i<=cnt;++i){
if (i==ban) continue;
int u=getdsu(ep[i].u),v=getdsu(ep[i].v);
if (u!=v)
dsu[u]=v;
}
if (ban && xo<=ed[1].w){
int u=getdsu(ep[ban].u),v=getdsu(ep[ban].v);
if (u!=v)
dsu[u]=v,ans+=xo;
}
for (int i=1;i<=m;++i){
int u=getdsu(ed[i].u),v=getdsu(ed[i].v);
if (u!=v)
dsu[u]=v,ans+=ed[i].w;
if (ban && ed[i].w<xo && (i==m || xo<=ed[i+1].w)){
int u=getdsu(ep[ban].u),v=getdsu(ep[ban].v);
if (u!=v)
dsu[u]=v,ans+=xo;
}
}
return ans;
}
int nxt[N];
int getnxt(int x){return x==nxt[x]?x:nxt[x]=getnxt(nxt[x]);}
void merge(int l,int r,int c){
if (l>r) return;
if (l<=c && c<=r){
merge(l,c-1,c);
merge(c+1,r,c);
return;
}
if (getdsu(l)!=getdsu(c)){
dsu[getdsu(l)]=getdsu(c);
if (bz.find(make_pair(l,c))==bz.end())
bz.insert(make_pair(c,l)),ep[++cnt]={c,l,0};
}
while (getnxt(l)<r){
int x=getnxt(l)+1;
nxt[x-1]=x;
if (getdsu(x)!=getdsu(c)){
dsu[getdsu(x)]=getdsu(c);
if (bz.find(make_pair(x,c))==bz.end())
bz.insert(make_pair(c,x)),ep[++cnt]={c,x,0};
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
if (m==0){
printf("0\n");
return 0;
}
for (int i=1;i<=m;++i){
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
ed[i]={u,v,w};
xo^=w;
deg[u]++,deg[v]++;
nei[u].push_back(v);
nei[v].push_back(u);
}
sort(ed+1,ed+m+1,cmped);
for (int i=1;i<=n;++i)
dsu[i]=i,nxt[i]=i;
nxt[n+1]=n+1;
for (int i=1;i<=n;++i){
if (deg[i]==n-1) continue;
sort(nei[i].begin(),nei[i].end());
if (deg[i]>0){
merge(1,nei[i][0]-1,i);
merge(nei[i][deg[i]-1]+1,n,i);
for (int j=0;j<deg[i]-1;++j)
merge(nei[i][j]+1,nei[i][j+1]-1,i);
}
else
merge(1,n,i);
}
if (cnt+m<(ll)n*(n-1)/2){
ll ans=MST(0);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
ll ans=LLONG_MAX;
for (int i=1;i<=cnt;++i)
ans=min(ans,MST(i));
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
