竞赛图相关学习小记

之前北大集训中竞赛图找哈密顿回路成为了基本知识点，给我留下了巨大阴影。

趁着摸鱼日补充了一点知识。

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参考资料：

兰道定理证明：https://blog.csdn.net/a_crazy_czy/article/details/73611366

Dirac定理和无向图找哈密顿回路（这篇博客我觉得它板子有锅，另外竞赛图部分有太多缺失不能看）：https://blog.csdn.net/u010660276/article/details/44891209

竞赛图找哈密顿路径和哈密顿回路：https://blog.csdn.net/Bfk_zr/article/details/79124479

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一些性质：

竞赛图：两两之间都有边的有向图。

竞赛图一定有哈密顿通路，强联通竞赛图一定有哈密顿回路。

竞赛图强联通分量缩点后是一条链，前面的点有连向后面的点的边。

兰道定理：一个竞赛图的比分序列，是把节点出度从小到大排序之后得到的序列。对于一个长度为\(n\)的比分序列\(s_i\)，是合法的比分序列（也就是说存在竞赛图使得比分序列是这个）当且仅当\(\forall 1\le k\le n,\sum_{i=1}^ks_i\ge \binom{k}{2}\)，\(k=n\)时取等。

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Dirac定理：在一个无向图中，如果对于任意两点\(u\neq v\)有\(deg_u+deg_v\ge n\)，则存在哈密顿回路。（充分不必要条件）

推广：当\(n\ge 3\)时，如果对于任意点\(u\)有\(deg_u\ge \frac{n}{2}\)，则存在哈密顿回路。

证明：

考虑维护一条路径\(S,v_1,v_2,\dots,v_k,T\)。先贪心扩展，如果有点和\(S\)或\(T\)相邻且不在路径中出现，则把它加到头或尾。

不能扩展的时候，\(S\)和\(T\)的所有相邻点都在路径上。

如果\(S\)和\(T\)相邻，则找到了个回路。否则，一定可以找到\(i\)满足\((S,v_{i+1}),(T,v_i)\in E\)（根据\(deg_S+deg_T\ge n,k\le n-2\)，反证，假如有分界点使左边只能和\(S\)相邻，右边只能和\(T\)相邻，由鸽巢原理得一定不存在），造出回路：\(S\to v_{i+1}\to \dots\to T\to v_i \to \dots \to S\)。

找到回路之后，如果长度不为\(n\)，找一条和回路相连的外面的边，把回路拆成链继续做。

每增加一个点至多进行\(O(n)\)次操作，所以时间是\(O(n^2)\)。

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构造竞赛图的哈密顿回路：

类似地搞一条路径\(v_1,\dots,v_k\)。

枚举一个点\(x\)，如果\(x\to v_1\)就把它放头，找到第一个\(i\)满足\(x\to v_{i+1}\)（此时也有\(v_i\to x\)），把\(x\)插在\(v_i,v_{i+1}\)之间。如果找不到这样的\(i\)，一定有\(v_k\to x\)，把\(x\)放尾。

重复操作一定能造出一条哈密顿通路。

如果图强联通，考虑将其变成哈密顿回路：

维护一个排列\(v_1,v_2,\dots,v_k,\dots ,v_n\)，满足\(v_i\to v_{i+1}\)，且有\(v_k\to v_1\)（相当于一个环上拉出来一条链）。\(k\)改变后，先令\(i=k+1\)。

如果存在\(v_{i}\to v_1\)，则\(k\)变成\(i\)。

否则：如果存在\(v_{i}\to v_j,j\le k\)，取第一个\(j\)（一定有\(v_{j-1}\to v_{k+1}\)），此时一定有环：\(v_{i}\to v_j \to \dots \to v_{k}\to v_1\to \dots \to v_{j-1}\to v_{k+1}\to \dots \to v_i\)，修改顺序并更新\(k\)为\(i\)；如果不存在这样的\(j\)，\(i\)变成\(i+1\)。因为强联通，所以当\(i=n\)时不可能找不到这样的\(j\)。

最终当\(k=n\)时，构造完毕。

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都是口胡，都没写。