AGC051D C4
一个无向四元环（顺时针\(STUV\)），给出每条边经过的次数\(a,b,c,d\)，求从\(S\)出发，\(S\)结束的方案数。
\(1\le a,b,c,d\le 5*10^5\)
以下为了方便，记\(F(x,y)\)表示\(x\)和\(y\)组合的方案数（即\(\binom{x+y}{x}\)），\(F(x,y,z)\)同理。
普通做法：
先把不形成欧拉回路的情况判掉。
把两步连在一起，则可以分为：
- S-V-U，U-V-S。
- S-T-U，U-T-S。
- S-V-S，S-T-S，U-V-U，U-T-U。
枚举1,2用了多少次，记为\(i,j\)。
由于来回是对称的，所以1,2直接组合，贡献为\(F(i,j)\)。
考虑S-?-S，它可以是两个1或2组合起来，个数\(\frac{i+j}{2}\)，也可以是3中的S-V-S，个数\(\frac{d-i}{2}\)，S-T-S，个数\(\frac{a-j}{2}\)，贡献为\(F(\frac{i+j}{2},\frac{d-i}{2},\frac{a-j}{2})\)。
同理，考虑U-?-U，贡献为\(F(\frac{i+j}{2}-1,\frac{c-i}{2},\frac{b-j}{2})\)。
答案为\(\sum_{i,j}F(i,j)F(\frac{i+j}{2},\frac{d-i}{2},\frac{a-j}{2})F(\frac{i+j}{2}-1,\frac{c-i}{2},\frac{b-j}{2})\)。
可以FFT。
更简单的做法：
考虑给边定向。可以发现定向的方案只有\(O(n)\)种，然后套上BEST定理\(O(1)\)计算。
由于对BEST定理不熟悉搞了好久。
参考资料：https://oi-wiki.org/graph/matrix-tree/
设\(G\)为有向欧拉图，则欧拉回路（没有固定起点）的总数\(ec(G)\)为：
\[ec(G)=t^{root}(G,k)\prod (deg_v-1)! \]\(t^{root}(G,k)\)表示\(k\)为根的根向树计数。它的基尔霍夫矩阵为\(D^{out}-E\)。
（注意是根向树也叫内向树，而用的度数矩阵为\(D^{out}\)。
由于没有固定起点，于是还需要乘\(deg(S)\)，并且因为不区分同类边，所以要除以各自的阶乘。
最后还有我看不懂的Tiw-Air-OAO大爷的生成函数做法：https://www.cnblogs.com/Tiw-Air-OAO/p/14440147.html
using namespace std;
#include <bits/stdc++.h>
#define N (1<<21)
#define mo 998244353
#define ll long long
ll qpow(ll x,ll y=mo-2){
ll r=1;
for (;y;y>>=1,x=x*x%mo)
if (y&1)
r=r*x%mo;
return r;
}
int nN,re[N];
void setlen(int n){
int bit=0;
for (nN=1;nN<=n;nN<<=1,++bit);
for (int i=1;i<nN;++i)
re[i]=re[i>>1]>>1|(i&1)<<bit-1;
}
void dft(int A[],int flag){
for (int i=0;i<nN;++i)
if (i<re[i])
swap(A[i],A[re[i]]);
static int wnk[N];
for (int i=1;i<nN;i<<=1){
ll wn=qpow(3,flag==1?(mo-1)/(2*i):mo-1-(mo-1)/(2*i));
wnk[0]=1;
for (int k=1;k<i;++k)
wnk[k]=wnk[k-1]*wn%mo;
for (int j=0;j<nN;j+=i<<1)
for (int k=0;k<i;++k){
ll x=A[j+k],y=(ll)A[j+k+i]*wnk[k];
A[j+k]=(x+y)%mo;
A[j+k+i]=(x-y)%mo;
}
}
for (int i=0;i<nN;++i)
A[i]=(A[i]+mo)%mo;
if (flag==-1){
ll invn=qpow(nN);
for (int i=0;i<nN;++i)
A[i]=A[i]*invn%mo;
}
}
void multi(int c[],int a[],int b[],int n){
// for (int i=0;i<=n;++i)
// for (int j=0;j<=n;++j)
// c[i+j]=(c[i+j]+(ll)a[i]*b[j])%mo;
static int A[N],B[N];
setlen(n*2);
for (int i=0;i<=n;++i)
A[i]=a[i],B[i]=b[i];
dft(A,1),dft(B,1);
for (int i=0;i<nN;++i)
A[i]=(ll)A[i]*B[i]%mo;
dft(A,-1);
for (int i=0;i<=n*2;++i)
c[i]=A[i];
}
ll fac[N],ifac[N];
void initC(int n){
fac[0]=1;
for (int i=1;i<=n;++i)
fac[i]=fac[i-1]*i%mo;
ifac[n]=qpow(fac[n]);
for (int i=n-1;i>=0;--i)
ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mo;
}
ll C(int m,int n){return fac[m]*ifac[n]%mo*ifac[m-n]%mo;}
int a,b,c,d;
int f[N],g[N],h[N];
int main(){
freopen("in.txt","r",stdin);
scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
initC(a+b+c+d);
if (d+a&1|a+b&1|b+c&1|c+d&1){
printf("0\n");
return 0;
}
for (int i=c&1;i<=c && i<=d;i+=2)
f[i]=ifac[i]*ifac[d-i>>1]%mo*ifac[c-i>>1]%mo;
for (int j=a&1;j<=a && j<=b;j+=2)
g[j]=ifac[j]*ifac[a-j>>1]%mo*ifac[b-j>>1]%mo;
int n=max(max(a,b),max(c,d));
multi(h,f,g,n);
ll ans=0;
for (int i=2;i<=n*2;++i)
ans=(ans+h[i]*fac[i]%mo*ifac[i/2]%mo*ifac[i/2-1])%mo;
ans=ans*fac[d+a>>1]%mo*fac[(b+c>>1)-1]%mo;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
using namespace std;
#include <bits/stdc++.h>
#define N (1<<21)
#define mo 998244353
#define ll long long
ll qpow(ll x,ll y=mo-2){
ll r=1;
for (;y;y>>=1,x=x*x%mo)
if (y&1)
r=r*x%mo;
return r;
}
ll fac[N],ifac[N];
void initC(int n){
fac[0]=1;
for (int i=1;i<=n;++i)
fac[i]=fac[i-1]*i%mo;
ifac[n]=qpow(fac[n]);
for (int i=n-1;i>=0;--i)
ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mo;
}
ll C(int m,int n){return fac[m]*ifac[n]%mo*ifac[m-n]%mo;}
int a,b,c,d;
int pa,pb,pc,pd;
ll calc(ll _11,ll _12,ll _13,ll _21,ll _22,ll _23,ll _31,ll _32,ll _33){
ll s=0;
s+=_11*_22*_33;
s+=_11*_23*_32*(-1);
s+=_12*_21*_33*(-1);
s+=_12*_23*_31;
s+=_13*_21*_32;
s+=_13*_22*_31*(-1);
return s%mo;
}
int main(){
freopen("in.txt","r",stdin);
scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
initC(a+b+c+d);
if (d+a&1|a+b&1|b+c&1|c+d&1){
printf("0\n");
return 0;
}
ll ans=0;
for (pa=0;pa<=a;++pa){
pb=2*pa-a+b>>1;
pc=2*pb-b+c>>1;
pd=2*pc-c+d>>1;
if (pb<0 || pc<0 || pd<0 || pb>b || pc>c || pd>d)
continue;
ll tmp=(pa+d-pd)*ifac[pa]%mo*ifac[a-pa]%mo*ifac[pb]%mo*ifac[b-pb]%mo*ifac[pc]%mo*ifac[c-pc]%mo*ifac[pd]%mo*ifac[d-pd]%mo;
tmp=tmp*fac[pa+d-pd-1]%mo*fac[pb+a-pa-1]%mo*fac[pc+b-pb-1]%mo*fac[pd+c-pc-1]%mo;
tmp=tmp*calc(pb+a-pa,-pb,0,-(b-pb),pc+b-pb,-pc,0,-(c-pc),pd+c-pc)%mo;
(ans+=tmp)%=mo;
}
ans=(ans+mo)%mo;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
