CF1477D. Nezzar and Hidden Permutations
给出一堆边\(u,v\)，你需要构造出排列\(p,q\)，满足\((p_u-p_v)(q_u-q_v)>0\)，最大化\(\sum[p_i\neq q_i]\)。
\(n\le 5*10^5\)
神仙构造。
当一个点\(i\)的度数为\(n-1\)时，这个点一定满足\(p_i=q_i\)。
于是得到了上界为\(n-度数为n-1的点数\)，下面给出方法压到这个上界：
把度数小于\(n-1\)的点分成若干组，每组\(S\)满足：\(|S|>1,\exist x\in S,\forall y\neq x,y\in S,(x,y)\notin E\)。这个时候可以把\(y\)用\((1,2),(2,3),\dots,(k,k+1)\)表示，\(x\)用\((k+1,1)\)表示。
可以发现这时候\(S\)内部的点之间一定满足限制，由于用到的数字是连续的所以\(S\)内外的点之间也满足限制。
如何找到一种分组方式：建出反图（不需要全部建出，只需要随便连少量的边。我的做法是找出编号最小的和当前点没有边的点，连这样一条边。），贪心随便找一个匹配，使得任何边相连的两个点至少有个被匹配覆盖。匹配中的每个点维护个点集。如果一个点不在匹配中，就把它丢到连向的任意一个点（一定在匹配内）的点集。
考虑匹配中的一条边的两个端点，如果至少一个点集为空，则直接分成一组；否则，每个端点和各自的点集分为一组。
using namespace std;
#include <bits/stdc++.h>
#define N 500005
int n,m;
set<int> e[N];
int d[N];
int p[N],q[N];
int to[N];
int bel[N];
vector<int> vec[N];
int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
int T;
scanf("%d",&T);
while (T--){
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;++i)
e[i].clear();
memset(d,0,sizeof(int)*(n+1));
for (int i=1;i<=m;++i){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
e[u].insert(v);
e[v].insert(u);
d[u]++,d[v]++;
}
memset(p,0,sizeof(int)*(n+1));
memset(q,0,sizeof(int)*(n+1));
for (int i=1;i<=n;++i)
if (d[i]==n-1)
p[i]=q[i]=-1;
else{
for (int j=1;j<=n;++j)
if (j!=i && e[i].find(j)==e[i].end()){
to[i]=j;
break;
}
}
for (int i=1;i<=n;++i)
vec[i].clear();
memset(bel,0,sizeof(int)*(n+1));
for (int i=1;i<=n;++i){
if (d[i]==n-1) continue;
if (!bel[i] && !bel[to[i]])
bel[i]=to[i],bel[to[i]]=i;
}
for (int i=1;i<=n;++i)
if (d[i]!=n-1 && bel[i]==0)
vec[to[i]].push_back(i);
int c=0;
for (int i=1;i<=n;++i){
if (d[i]==n-1) continue;
if (bel[i] && i<bel[i]){
int x=i,y=bel[i];
if (vec[x].empty())
swap(x,y);
if (vec[x].empty()){
p[x]=c+1,q[x]=c+2;
p[y]=c+2,q[y]=c+1;
c+=2;
}
else{
if (vec[y].empty()){
int t=c;
++t,p[y]=t,q[y]=t+1;
for (int j=0;j<vec[x].size();++j)
++t,p[vec[x][j]]=t,q[vec[x][j]]=t+1;
++t,p[x]=t,q[x]=c+1;
c=t;
}
else{
int t=c;
for (int j=0;j<vec[x].size();++j)
++t,p[vec[x][j]]=t,q[vec[x][j]]=t+1;
++t,p[x]=t,q[x]=c+1;
c=t;
for (int j=0;j<vec[y].size();++j)
++t,p[vec[y][j]]=t,q[vec[y][j]]=t+1;
++t,p[y]=t,q[y]=c+1;
c=t;
}
}
}
}
for (int i=1;i<=n;++i)
if (d[i]==n-1)
p[i]=q[i]=++c;
for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",p[i]);printf("\n");
for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",q[i]);printf("\n");
}
return 0;
}
