LOJ2565. 「SDOI2018」旧试题
给出\(A,B,C\)，求\(\sum_{i=1}^{A}\sum_{j=1}^{B}\sum_{k=1}^C \sigma_0(ijk)\)。
\(\sigma_0(n)\)表示\(n\)的约数个数。
\(A,B,C\le 10^5\)
结论：\(\sigma_0(ijk)=\sum_{a|i}\sum_{b|j}\sum_{c|k}[b\perp c][a \perp c][a \perp b]\)。
证明类比只有两个数的情况。
接下来推式子，三项东西同步推，得到：\(\sum_i\sum_j\sum_k\mu(i)\mu(j)\mu(k)f(A,[j,k])f(B,[i,k])f(C,[i,j])\)
其中\(f(n,d)=\sum_{d|i}\frac{n}{i}\)。暴力求时间\(O(n\ln n)\)。
神仙转化：建图，找三元环\((i,j,k)\)。
建图的时候要求\(lcm\)不超过\(n\)。于是连出来的边实际上只有不到\(8*10^5\)条。
找三元环：求出每个点的度数，把边定向为从大度数到小度数。枚举某个点\(u\)，先枚举\((u,w)\in E\)将\(w\)打上标记，再枚举\((u,v),(v,w)\in E\)，若\(w\)有标记则找到一个三元环。
时间复杂度：其实相当于对于\((u,v)\in E\)，给\(out_v\)求和。如果\(deg_v\le \sqrt m\)，则\(out_v\le \sqrt m\)，总共\(O(m\sqrt m)\)；如果\(deg_v\ge \sqrt m\)，这样的\(v\)或\(u\)不超过\(\sqrt m\)个，于是\(out_v\)最多被贡献\(\sqrt m\)次，总共也是\(O(m\sqrt m)\)。
还有更加神仙的不用找三元环的方法当然我不会……
using namespace std;
#include <bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define ll long long
#define mo 1000000007
int gcd(int a,int b){
int k;
while (b)
k=a%b,a=b,b=k;
return a;
}
int lcm(int a,int b){
// assert((ll)a/gcd(a,b)*b<=100005);
return a/gcd(a,b)*b;
}
int A[3],n;
int p[N],np;
bool inp[N];
int mu[N],mnp[N];
void initp(int n){
mu[1]=1;
for (int i=2;i<=n;++i){
if (!inp[i])
p[++np]=i,mu[i]=-1,mnp[i]=i;
for (int j=1;j<=np && i*p[j]<=n;++j){
inp[i*p[j]]=1;
mnp[i*p[j]]=p[j];
if (i%p[j]==0)
break;
mu[i*p[j]]=-mu[i];
}
}
}
int f[3][N];
void initf(int g[],int n){
for (int i=1;i<=n;++i){
ll sum=0;
for (int j=1;i*j<=n;++j)
sum+=n/(i*j);
g[i]=sum%mo;
}
}
int deg[N];
struct EDGE{
int to,w;
EDGE *las;
} e[1000000];
int ne;
EDGE *last[N];
void link(int u,int v,int w){
e[ne]={v,w,last[u]};
last[u]=e+ne++;
}
struct edge{int u,v,w;} ed[1000000];
int q[N],re[N],totv,tote;
bool cmpq(int x,int y){return deg[x]>deg[y];}
ll ans;
void calc(int a){
ll s=(ll)f[0][a]*f[1][a]%mo*f[2][a]%mo;
ans+=mu[a]*s;
}
void calc(int a,int b,int ab){
ll s=0;
s+=(ll)f[0][b]*f[1][ab]%mo*f[2][ab];
s+=(ll)f[0][ab]*f[1][b]%mo*f[2][ab];
s+=(ll)f[0][ab]*f[1][ab]%mo*f[2][b];
s%=mo;
ans+=mu[a]*s;
}
void calc(int a,int b,int c,int ab,int ac,int bc){
ll s=0;
s+=(ll)f[0][ab]*f[1][ac]%mo*f[2][bc];
s+=(ll)f[0][ab]*f[2][ac]%mo*f[1][bc];
s+=(ll)f[1][ab]*f[0][ac]%mo*f[2][bc];
s+=(ll)f[1][ab]*f[2][ac]%mo*f[0][bc];
s+=(ll)f[2][ab]*f[0][ac]%mo*f[1][bc];
s+=(ll)f[2][ab]*f[1][ac]%mo*f[0][bc];
s%=mo;
ans+=mu[a]*mu[b]*mu[c]*s;
}
int W,d[N],z[N],dz[N],cp;
void divide(int x){
cp=0;
while (x!=1){
d[++cp]=mnp[x];
z[cp]=0,dz[cp]=1;
while (x%d[cp]==0)
z[cp]++,x/=d[cp],dz[cp]*=d[cp];
}
}
void find(int k,int u,int v){
if (k>cp){
if (u<v && mu[u] && mu[v]){
ed[++tote]={u,v,W};
deg[u]++,deg[v]++;
}
return;
}
int pro=1;
for (int i=0;i<z[k];++i,pro*=d[k]){
find(k+1,u*pro,v*dz[k]);
find(k+1,u*dz[k],v*pro);
}
find(k+1,u*dz[k],v*dz[k]);
}
void work(){
memset(deg,0,sizeof(int)*(n+1));
totv=0,tote=0;
for (int i=1;i<=n;++i){
W=i;
divide(i);
find(1,1,1);
}
for (int i=1;i<=n;++i)
if (mu[i])
q[++totv]=i;
sort(q+1,q+totv+1,cmpq);
for (int i=1;i<=totv;++i)
re[q[i]]=i;
ne=0;
memset(last,0,sizeof(EDGE*)*(n+1));
for (int i=1;i<=tote;++i){
int u=ed[i].u,v=ed[i].v;
if (re[u]>re[v])
swap(u,v);
link(u,v,ed[i].w);
}
static int bz[N];
for (int i=1;i<=totv;++i){
int u=q[i];
for (EDGE *ei=last[u];ei;ei=ei->las)
bz[ei->to]=ei->w;
for (EDGE *ei=last[u];ei;ei=ei->las){
calc(u,ei->to,ei->w);
calc(ei->to,u,ei->w);
for (EDGE *ej=last[ei->to];ej;ej=ej->las)
if (bz[ej->to])
calc(u,ei->to,ej->to,ei->w,ej->w,bz[ej->to]);
}
for (EDGE *ei=last[u];ei;ei=ei->las)
bz[ei->to]=0;
calc(u);
}
}
int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
initp(100000);
int T;
scanf("%d",&T);
while (T--){
scanf("%d%d%d",&A[0],&A[1],&A[2]);
sort(A,A+3);
n=A[2];
for (int k=0;k<3;++k){
memset(f[k],0,sizeof(int)*(n+1));
initf(f[k],A[k]);
}
ans=0;
work();
ans=(ans%mo+mo)%mo;
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
