ULR1 B. 【ULR #1】光伏元件
一个\(n*n\)的\(01\)矩阵\(a_{i,j}\)，有些位置可以修改，代价为\(c_{i,j}\)。要求进行一些修改之后满足：设\(cl_i\)为第\(i\)行的\(1\)的个数，\(cr_i\)为第\(i\)列的\(1\)的个数，要求\(cl_i,cr_i\in [dl_i,dr_i],|cl_i-cr_i|\le k_i\)。
问最少代价。
保证有解。
\(n\le 100\)
不错的网络流练习题。
建立两排点分别表示行列，两两连边表示一个格子。不可以修改显然，如果可以修改，\(a_{i,j}=0\)时连\((i,j',0,1,c_{i,j})\)，\(a_{i,j}=1\)时先连\((i,j',1,1,0)\)，再连\((j',i,0,1,c_{i,j})\)表示退流。
循序渐进思考，假设\(k_i=0\)，也就是行列相同，那么可以连\((i,i,0,\infty,0)\)，求最小费用可行流。
扩展一下，可以这么连：建立源点汇点，连边\((S,i,dl,dl+k,0),(i',T,dl,dl+k,0),(i',i,0,dr-dl-k,0)\)。
从\(S\)和\(i'\)流进\(i\)的可以看做\(cl_i\)，从\(i'\)流出到\(T\)和\(i\)的可以看做\(cr_i\)。
可以发现一定满足\(cl_i,cr_i\in[dl,dr]\)。\(|cl_i-cr_i|=|(f(S,i)+f(i',i))-(f(i',T)+f(i',i))|=|f(S,i)-f(i',T)|\le k\)。
题解说如果用EK的话需要增广\(O(n^2)\)次，SPFA增广一次是\(O(nm)\)所以是\(O(n^5)\)，用Dij增广一次是\(O(n^2)\)（不写堆优化）所以是\(O(n^4)\)。
习惯性地些了zkw费用流很自然地TLE80了，有时间去补一下Dij费用流。
下面的代码是80分的代码。
using namespace std;
#include <bits/stdc++.h>
#define N 105
#define ll long long
int n,all;
int S,T,ss,tt;
int a[N][N],c[N][N];
int dl[N],dr[N],dk[N];
struct EDGE{
int to,c,w;
EDGE *las;
} e[200005];
int ne;
EDGE *last[N*2];
void link(int u,int v,int c,int w){
// printf("%d %d %d %d\n",u,v,c,w);
e[ne]={v,c,w,last[u]};
last[u]=e+ne++;
}
#define rev(ei) (e+(int((ei)-e)^1))
ll dis[N*2],maxflow,mincost;
bool vis[N*2];
ll dfs(int x,int s){
if (x==tt){
maxflow+=s;
mincost+=s*dis[ss];
return s;
}
int have=0;
vis[x]=1;
for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
if (ei->c && !vis[ei->to] && dis[x]==dis[ei->to]+ei->w){
ll t=dfs(ei->to,min(ei->c,s-have));
ei->c-=t,rev(ei)->c+=t,have+=t;
if (have==s)
return s;
}
return have;
}
bool change(){
ll d=LLONG_MAX;
for (int i=1;i<=all;++i)
if (vis[i])
for (EDGE *ei=last[i];ei;ei=ei->las)
if (ei->c && !vis[ei->to])
d=min(d,dis[ei->to]+ei->w-dis[i]);
if (d==LLONG_MAX)
return 0;
for (int i=1;i<=all;++i)
if (vis[i])
dis[i]+=d;
return 1;
}
void flow(){
do
do
memset(vis,0,sizeof(bool)*(all+1));
while (dfs(ss,INT_MAX));
while (change());
}
void lk(int u,int v,int l,int r,int w){
if (r-l)
link(u,v,r-l,w),link(v,u,0,-w);
if (l){
link(ss,v,l,w),link(v,ss,0,-w);
link(u,tt,l,0),link(tt,u,0,0);
}
}
int ans[N][N];
void check(){
ll sum=0;
for (int i=1;i<=n;++i)
for (int j=1;j<=n;++j)
if (ans[i][j]!=a[i][j])
sum+=c[i][j];
for (int i=1;i<=n;++i){
int cl=0,cr=0;
for (int j=1;j<=n;++j)
cl+=ans[i][j],cr+=ans[j][i];
assert(cl<=dr[i] && cl>=dl[i]);
assert(cr<=dr[i] && cr>=dl[i]);
assert(abs(cl-cr)<=dk[i]);
}
assert(sum==mincost);
}
EDGE *p[N][N];
int main(){
freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("out.txt","w",stdout);
scanf("%d",&n);
S=n+n+1,T=n+n+2,ss=n+n+3,tt=n+n+4;
all=n+n+4;
for (int i=1;i<=n;++i)
for (int j=1;j<=n;++j)
scanf("%d",&a[i][j]);
for (int i=1;i<=n;++i)
for (int j=1;j<=n;++j){
scanf("%d",&c[i][j]);
if (c[i][j]==-1){
if (a[i][j]==1)
lk(i,j+n,1,1,0);
}
else{
if (a[i][j]==0){
p[i][j]=e+ne;
lk(i,j+n,0,1,c[i][j]);
}
else{
lk(i,j+n,1,1,0);
p[i][j]=e+ne+1;
lk(j+n,i,0,1,c[i][j]);
// link(j+n,i,1,c[i][j]);
// link(i,j+n,0,-c[i][j]);
}
}
}
for (int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d%d%d",&dl[i],&dr[i],&dk[i]);
dk[i]=min(dk[i],dr[i]-dl[i]);
lk(S,i,dl[i],dl[i]+dk[i],0);
lk(i+n,T,dl[i],dl[i]+dk[i],0);
lk(i+n,i,0,dr[i]-dl[i]-dk[i],0);
}
lk(T,S,0,INT_MAX,0);
flow();
printf("%lld\n",mincost);
for (int i=1;i<=n;++i,printf("\n"))
for (int j=1;j<=n;++j){
if (c[i][j]==-1)
ans[i][j]=a[i][j];
else
ans[i][j]=rev(p[i][j])->c;
printf("%d ",ans[i][j]);
}
check();
return 0;
}
