CTSC2006 歌唱王国

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4548

补了一下概率生成函数。

写的公式可能不规范请不要介意。

---

给出某个字符串\(S\)，你手中有个字符串\(T\)一开始为空。每次随机往\(T\)后加一个字符，问\(S\)成为\(T\)的子串的期望次数。

字符集大小为\(c\)。

---

正解是一条式子。可以做到\(O(n)\)。

介绍下概率生成函数：\(F(x)=\sum_i P(i)x^i\)，\(P(i)\)表示某个要求的变量最终值为\(i\)的概率。

于是有两条性质：\(F(1)=1\)（即所有概率加起来），\(F'(1)=E\)。\(E\)表示期望，即\(\sum i P(i)\)。

回到这题。设\(f_i\)表示结束的时候长度为\(i\)的概率，\(g_i\)表示长度为\(i\)的时候还没有结束的概率。\(F(x),G(x)\)分别为它们的生成函数。

显然有\(F(x)+G(x)=xG(x)+1 (1)\)。

又根据意义可得\(G(x)(\frac{1}{c}x)^L=\sum a_iF(x)(\frac{1}{c}x)^{L-i}(2)\)。其中\(a_i\)表示\(i\)是否为\(S\)的\(border\)。意义：左式表示一个还不包含\(S\)的串后面硬塞了一个\(S\)的方案数；但这个时候可能会提前结束，右边那个就是结束了之后再多塞了\(S_{L-i+1..L}\)。由于在右边\(F(x)\)相当于钦定了第一个结束的位置，所以不会算重。

根据这两个式子乱搞：

对\((1)\)求导得\(F'(x)=(x-1)G'(x)+G(x)\)，代入\(x=1\)得\(F'(1)=G(1)\)。

对\((2)\)代入\(x=1\)得\(G(1)=\sum a_iF(1)c^i\)。

两条式子结合前面给出的两条概率生成函数的性质，得到\(E=\sum a_ic^i\)。