IOI2021集训队作业281CA Balanced Diet

有\(m\)种糖，每天吃一个。给出\(a_i\)，设\(f_i=\frac{a_i}{\sum a_i}\)。

吃\(n\)天时，记\(s_i\)为第\(i\)种糖吃的总次数。此时满足：\(nf_i-1<s_i<nf_i+1\)。

给出一开始\(k\)天吃了什么糖，问满足这个限制还能吃多少天，或者forever。

\(m,\sum a_i\le 10^5\)

---

为了方便记\(S=\sum a_i\)。

显然可以想到贪心：求出每种糖最早的使其不合法的\(n\)，每次取出这个值最小的糖，于是当天吃这种糖。先假装是这样。这显然是最优的。

另外说明一下可行性：可能取出这种糖，吃了之后会越过上界；但是这没有影响，如果吃了这颗糖会越过上界，那么暂时不吃这颗糖也不会越过下界，此时可以吃随便哪一种，然而这颗糖迟早是要吃的，先假装是“暂时”吃了它。实际上此时必然存在一种糖，吃了它之后一定不会越过上界（证明考虑由\(\sum\frac{s_i}{n}=\sum \frac{a_i}{S}=1\)，得出\(\exist s_i\leq \frac{na_i}{S}\)，这个一定合法）。感受一下它是对的。

由于在\(S|n\)时每个\(s_i\)的取值是固定的，这就相当于是个循环节，后面的都模仿前面的操作即可。于是只需要做至多\(S\)次，即可判断是否forever。

---

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#define N 100005
#define ll long long
int n,k;
int a[N],S;
int c[N];
int h[N],nh;
bool cmph(int x,int y){
	return (ll)(c[x]+1)*S*a[y]>(ll)(c[y]+1)*S*a[x];
};
int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&a[i]),S+=a[i];
	for (int i=1,x;i<=k;++i)
		scanf("%d",&x),c[x]++;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		h[nh++]=i;
	make_heap(h,h+nh,cmph);
	int k_=k;
	while (k%S){
		int x=h[0];
		pop_heap(h,h+nh--,cmph);
		k++,c[x]++;
		h[nh++]=x;
		push_heap(h,h+nh,cmph);
		if ((ll)k*a[h[0]]>=(ll)(c[h[0]]+1)*S/* || (ll)k*a[x]<=(ll)(c[x]-1)*S*/){
			printf("%d\n",k-1-k_);
			return 0;
		}
	}
	printf("forever\n");
	return 0;	
}