ARC108 题解&总结
掉分了……
A
解方程
直接\(O(\sqrt P)\)枚举即可。
B
用个栈模拟即可。
C
我竟然卡了一会儿。
造棵生成树，直接染色（经过某条边时，如果父亲的颜色不是这条边的颜色，儿子随便染；否则儿子染这条边的颜色）。
D
先写出个DP，发现会算重，然后一直想办法容斥……
后来开始分类讨论快讨论完的时候觉得麻烦，不会是正解，就丢掉了……
实际上还真是分类讨论题。
设\(c_{AB}=A\)。反之类似。
- \(c_{AA}=A\)时，发现只能形成\(AA\dots AB\)这样的字符串。
- \(c_{AA}=B\)时：可以构造出这样的字符串，满足\(A\)最前，\(AB\)最后，中间放\(A\)或\(B\)，其中\(B\)不相邻。
- \(c_{BA}=A\)时：无影响。无需讨论\(c_{BB}\)因为不会出现\(BB\)。
- \(c_{BA}=B\)时：去掉了\(B\)不相邻的限制。此时\(c_{BB}\)取值无影响。
分别计算即可。
E
题面长了点当时没看。实际上是套路题。
关于期望问题的子问题：记一个问题\(S\)的当前操作数为\(c(S)\)，每次等概率选择一个操作继续搞下去。假设当前问题\(S\)被分成两个互不相干的子问题\(S_1,S_2\)。这时候有\(E(S)=E(S_1)+E(S_2)\)。证明：设\(E(S_1,S_2)\)表示在问题\(S_1,S_2\)下，单独算\(S_1\)的期望，假设\(nxt(S)\)为\(S\)的后继状态集合。归纳，假设已经证明\(E(nxt(S_1)\bigcup S_2)=E(nxt(S_1))+E(S_2)\)。\(E(S_1,S_2)=\frac{1}{c(S_1)+c(S_2)}\sum_{S'_2\in nxt(S_2)}E(S_1,S'_2)+\frac{1}{c(S_1)+c(S_2)}\sum_{S'_1\in nxt(S_1)}E(S'_1,S_2)=\frac{1}{c(S_1)+c(S_2)}\sum_{S'_2\in nxt(S_2)}E(S_1,S'_2)+\frac{c(S_1)}{c(S_1)+c(S_2)}E(S_1)\)。左边递归下去到\(c(S_2)=0\)为止再反推回来。可以推出\(E(S_1,S_2)=E(S_1)\)。
用人话来解释：在操作\(S_2\)时，对\(S_1\)无影响；操作\(S_1\)时，\(S_1\)到达每个后继状态的概率是等价的。因此只看\(S_1\)中的操作，它的期望和\(S_2\)无关。
知道这个套路之后，直接设\(f_{i,j}\)表示选了\(i\)和\(j\)，\((i,j)\)的期望贡献。写出方程之后拆开可以用树状数组优化。
F
最后半小时开始搞，想出了正解但是自己将它ban掉了，打了个假做法来不及测样例交了上去。
找出直径，如果直径端点颜色相同答案为直径；否则，求出每个点到两个端点的距离\(a_i,b_i\)，问题转化成，对于端点外的点，每个点选\(a_i\)或\(b_i\)，答案为最大值。排序随便搞即可。
可以证明，将树砍掉一些枝条之后，得到的新树的直径端点中至少有一个是原直径的端点。
证明很套路不赘述了。
综上所述其实这次的ARC好像比以前都要简单？
但为什么我却只切了3题呢？
……
感觉自己比较容易高估题目难度，而且在最后那点时间中比较急躁，导致交错误程序上去。
啊啊啊我什么时候atcoder才能上2000啊！！
