CF1446E Long Recovery（附证明）
一个长这样的网格图（坐标范围\((Z,Z)\)）：
一开始有些点是黑点，有些点是白点。
每次网格图会产生如下变化：选择恰好一个能改变颜色的格子将其改变，条件为：这个格子存在两个反色的相邻格子。
直到不能变化为止。
问最坏情况下，是否能全部染白，如果能变化次数最多是多少。
给出若干个初始黑点的坐标，初始黑点坐标范围为\((0\dots 499,0\dots 499)\)。初始黑点点数最多为\(500^2\)。
有一说一这题不给个能卡掉明显错误贪心的样例，差评。
但题目确实难想，翻译着题解的证明尝试去理解。
首先想如何判断是否能全部染白。这里可以贪心：先将所有的操作都用于染黑，全部染黑之后再染白（显然这个情况下不会存在再染黑的情况）。如果最后全白了，说明可以。
但是如果这个做法套用到最长操作次数上，它就错了。原因在于在尽量染黑的过程中，可能出现染白后再染黑的情况。
搬下dyp博客的图：
最优可行解可以自己玩玩。
系统地定义答案的上限。定义\(\phi\)为相邻的不同颜色的格子的个数。可以发现每次操作过后\(\phi\)只会变成\(\phi-1\)或\(\phi-3\)。分别称其为好操作和坏操作。正确的做法应该最小化坏操作的次数。
定义\(\overline A\)为黑点点集\(A\)在经过尽量染黑的操作之后形成的点集。
先尽量染黑，对于其中的每个连通块，假设它是\(\overline A\)。那么处理完\(A\)的时候，最后一个点必须要用坏操作；而在中间处理的时候能够一直用好操作，除非：\(A\)是个triforce（题解发明的一个词，字典中似乎没有它的实际含义，也不知如何翻译……）。
（下面会给出证明）
triforce长这样：
就是\(|A|=3\)，且\(A\)中的三个黑格子都是同一个白格子的邻居。
所以做法就是：先计算一开始的\(\phi\)，减去二倍连通块个数，减去二倍triforce的个数。
证明：如果没有triforce，那么不需要多余的坏操作。
以下证明是搬官网题解加上自己的一点点润色。
假设\(A\)是一个有至少两个格子的集合，满足：
- \(\overline A\)无环。
- \(\overline A\)联通。
- \(A\)不是triforce。
可以证明这里存在一个好操作，使得操作后的集合\(A'\)仍然满足这三个性质。显然性质1一直成立（因为\(\overline {A'}\subseteq \overline A\)），接下来证明后面两个性质。分类讨论：
存在一个白变黑的好操作。显然成立，做下去。
不存一个白变黑的好操作，但存在一个黑变白的好操作。假设\(c\)变白，因为不存在白变黑的好操作，所以\(\overline A \setminus A\)中每个格子在\(A\)有三个邻居。至少两个在\(A \setminus c\)，于是\(\overline A \setminus A \subseteq \overline {A \setminus c}\)。即\(\overline A \setminus c \setminus (A \setminus c) \subseteq \overline {A \setminus c}\)，因为\(A \setminus c \subseteq \overline {A \setminus c}\)，所以\(\overline A \setminus c \subseteq \overline {A \setminus c}\)。
可以证明\(\overline {A \setminus c}\)联通：(1)\(c\)是\(\overline A\)的一个叶子，显然去掉后仍然联通；(2)\(c\)不是\(\overline A\)的叶子，那么\(c\)至少有两个邻居，在集合\(\overline A \setminus c\)内，也在\(\overline {A \setminus c}\)内，于是\(c\)也在\(\overline {A \setminus c}\)内，得出\(\overline {A \setminus c}=\overline A\)。
如果是个\(A \setminus c\)是个triforce，那么\(A\)一定是个triforce加一个相邻的格子，这个情况下存在另一个\(c\)，选了它仍然满足。那么一开始就选另一个\(c\)就好了。
如果不存在好操作，那么：\(A\)中的格子不相邻（如果相邻一定成大小不为\(1\)的树，一定有叶子结点满足在\(A\)中只有一个邻居），并且\(\overline A \setminus A\)被\(A\)包围。因为\(A\)至少有两个格子，且\(\overline A\)联通无环，只能构造出triforce满足这个条件。
借用下官方题解的图以助于理解：
显然中间的黑色点必须要选。绿色点不能选因为没有点相邻，红色点不能选因为如果选了会出现环。
于是证完了。
怠惰，懒得写。
