AGC049D - Convex Sequence

询问满足如下条件的数列的方案数：

\(a_i\ge 0\)

\(\sum a_i=m\)

\(2a_i\le a_{i-1}+a_{i+2}\)

\(n,m\le 10^5\)

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自己搞的时候连负数都不知道怎么处理……

钦定最终数列的最小值（位置为第二关键字）。设为\(i\)。

那么一个合法的数列可以如此构造：

1. 整个数列加\(1\)。
2. 选择\(j<i\)，给\(a_{j},a_{j-1},a_{j-2},\dots,a_1\)分别加\(1,2,3,\dots\)。至少给\(i-1\)操作一次。
3. 选择\(j>i\)，给\(a_j,a_{j+1},a_{j+2},\dots,a_{n}\)分别加\(1,2,3,\dots\)。

无序的搞上面的若干次操作，最终要求总和为\(m\)。

不关心具体取值，于是可以看成背包。物品大小平方级增长，所以有效的物品数可视作\(\sqrt m\)。\(i\)固定时直接做是\(m\sqrt m\)的，移动\(i\)时相当于删物品和加物品。都可以\(O(m)\)做，总时间\(O(m\sqrt m)\)

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using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100005
#define ll long long
#define mo 1000000007
int n,m;
int f[N];
void insert(int f[],ll w){
	for (ll i=w;i<=m;++i)
		f[i]=(f[i]+f[i-w])%mo;
}
void erase(int f[],ll w){
	for (ll i=m;i>=w;--i)
		f[i]=(f[i]-f[i-w]+mo)%mo;
}
int query(ll x){
	return x<0 || x>m?0:f[x];
}
ll val(int x){return (ll)x*(x+1)/2;}
int main(){
	freopen("in.txt","r",stdin);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	f[0]=1;
	insert(f,n);
	for (int i=1;i<=n-1;++i)
		insert(f,val(i));
	ll ans=0;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		ans+=query(m-val(i-1));
		erase(f,val(n-i));
		insert(f,val(i));			
	}
	ans%=mo;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}