IOI2021集训队作业 230AG Metal Processing Plant

读入一个完全图，你要把所有的点分成两个集合\(A,B\)，使得\(\max_{u,v\in A} d_{u,v}+\max_{u,v\in B} d_{u,v}\)最小。

\(d\)表示边。

\(n\le 200\)

---

钦定\(A\)的贡献小于等于\(B\)。有个暴力的做法：枚举\(B\)的贡献，然后二分\(A\)的贡献，得到一系列限制：要求两个点不能再同个集合，或要求两个点不能同时在\(A\)集。这个东西可以two-sat解决。然后时间复杂度是\(O(n^4\lg n)\)。

考虑优化：考虑大于\(B\)的贡献的边形成的图，这必须要是个二分图；如果某个时候出现了奇环，就可以不用计算了；当有新边加入这个图时，如果边连着的两个点之前已经确定了不在同个集合中（也就是不在同个二分图连通块中），那也不需要计算。要计算的时候只有两个连通块合并的时候，那么只需要计算\(O(n)\)次。于是总时间复杂度为\(O(n^3\lg n)\)。

应该还可以优化成\(O(n^3)\)。不过我没写。

---

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 205
#define INF 1000000000
int n,m;
struct edge{int u,v,w;} ed[N*N];
bool cmpe(edge a,edge b){return a.w<b.w;}
struct EDGE{
	int to;
	EDGE *las;
};
struct Graph{
	EDGE e[N*N*2];
	int ne;
	EDGE *last[N*2];
	void link(int u,int v){
		e[ne]={v,last[u]};
		last[u]=e+ne++;
	}
	void clear(){
		ne=0;
		memset(last,0,sizeof(EDGE*)*(2*n+1));
	}
} G;
int dsu[N],xo[N];
void getdsu(int x){
	if (dsu[x]==x) return;
	getdsu(dsu[x]);
	xo[x]^=xo[dsu[x]];
	dsu[x]=dsu[dsu[x]];
}
int dfn[N*2],low[N*2],nowdfn;
int st[N*2],tp;
bool ins[N*2];
int col[N*2],nc;
void tarjan(int x){
	dfn[x]=low[x]=++nowdfn;
	st[++tp]=x;
	ins[x]=1;
	for (EDGE *ei=G.last[x];ei;ei=ei->las)
		if (!dfn[ei->to])
			tarjan(ei->to),low[x]=min(low[x],low[ei->to]);
		else if (ins[ei->to])
			low[x]=min(low[x],dfn[ei->to]); 
	if (dfn[x]==low[x]){
		++nc;
		while (st[tp]!=x){
			ins[st[tp]]=0;
			col[st[tp--]]=nc;
		}
		ins[x]=0;
		col[x]=nc;
		tp--;
	}
}

bool judge(int da,int db){
	G.clear();
	for (int i=m;i>db;--i){
		int u=ed[i].u,v=ed[i].v;
		G.link(u+n,v),G.link(u,v+n);
		G.link(v+n,u),G.link(v,u+n);
	}
	for (int i=db;i>da;--i){
		int u=ed[i].u,v=ed[i].v;
		G.link(u+n,v);
		G.link(v+n,u);
	}
	memset(dfn,0,sizeof(int)*(n*2+1));
	nc=0;
	for (int i=1;i<=n*2;++i)
		if (!dfn[i])
			tarjan(i);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		if (col[i]==col[i+n])
			return 0;
	return 1;
}
int ans;
void work(int lim){
	int l=0,r=lim,res=INF;
	while (l<=r){
		int mid=l+r>>1;
		if (judge(mid,lim)){
			res=ed[mid].w;
			r=mid-1;
		}
		else
			l=mid+1;
	}
	ans=min(ans,res+ed[lim].w);
}
int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	if (n==1){
		printf("0\n");
		return 0;
	}
	for (int i=1;i<=n;++i){
		for (int j=i+1;j<=n;++j){
			int w;
			scanf("%d",&w);
			ed[++m]={i,j,w};
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
		dsu[i]=i,xo[i]=0;
	sort(ed+1,ed+m+1,cmpe);
	ans=ed[m].w;
	int i;
	for (i=m;i>=1;--i){
		int u=ed[i].u,v=ed[i].v;
		getdsu(u),getdsu(v);
		if (dsu[u]!=dsu[v]){
			work(i);
			xo[dsu[u]]=xo[u]^1^xo[v];
			dsu[dsu[u]]=dsu[v];
		}
		else{
			if (xo[u]==xo[v]){
				work(i);
				break;
			}
		}
	}
	if (i==0)
		work(0);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}