平面图完美匹配计数-FKT算法

参考文献：http://basics.sjtu.edu.cn/~dominik/teaching/2016-cs214/presentation-slides/2016-12-27-PerfectMatchingsInPlanarGraphs-PlusOne.pdf

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先介绍几个概念：

环覆盖：用若干个不相交的环，覆盖所有的点。

有向偶环覆盖（Even Directed Cycle Cover，简称EDCC）：环覆盖中所有的环都是偶环，并且给所有的环定向。

定理：任意两个完美匹配的方案，都对应一个有向偶环覆盖的方案。于是有$|PM|^2=|EDCC|$（PM：prefect matching，即完美匹配）。

现在的问题是找$EDCC$的个数。

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给每个点连出去一条边，并且要求每个点的度数为$1$。这样可以形成一个轮换，对应置换（排列）$\pi$。

设$A$为某个矩阵，计算$\pi$对$\det(A)$的贡献。则贡献为$sgn(\pi)val(\pi)=sgn(\pi)\prod A_{i,\pi(i)}$。

问题是构造出矩阵使得只有$\pi$对应着一个$EDCC$的时候才有贡献。

考虑给原图定向，对于有向边$(u,v)$，钦定$A_{u,v}=1,A_{v,u}=-1$，如果$(u,v)\notin E$，则$A_{u,v}=0$。

如此定义$A$之后：

1. 如果存在$(i,\pi(i))\notin E$，则贡献为$0$。
2. 如果$\pi$对应的轮换中有个奇环$C$，那么存在$\pi'$，对于任意$i\in C$，满足$\pi(\pi'(i))=i$（也就是说$\pi'$是$\pi$将轮换$C$反向），则有$sgn(\pi)=sgn(\pi')$和$val(\pi)=-val(\pi')$。贡献将会互相抵消。

因此只有$EDCC$的贡献才会被计算到。

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被计算到，我们希望贡献$sgn(\pi)val(\pi)=1$，现在的目的是给图定向使得它满足这个条件。

接下来就是FKT算法：

1. 给图$G$建一棵生成树$T$，生成树内的边任意定向。
2. 建另一个图$G2$，$G2$中的每个点对应$G$中的一个面，$(u,v)\in E_{G2}$当且仅当分割着$u$和$v$的边不在$E_T$中。显然$G2$也是一棵树。
3. 从$G2$的叶子结点开始操作，调整对应$G$的面的面上不在$T$中的边，使得面上的顺时针的边个数为奇数。

显然通过这样操作之后$G$内所有的面（不包括最外面的那个），面上顺时针的边的个数都为奇数。

可以证明：这样构图之后，所有的$EDCC$都满足：对于$EDCC$中的环，顺时针的边的个数都为奇数。

首先根据平面图欧拉定理，可以得知：$e=v+f-1$，其中$v$为环内（不包括环上）的点数，$f$环内的面数，$e$为环内的边数（不包括环上）。

设环中顺时针边的个数为$c$，环内面的顺时针边的个数为$c_i$。归纳：由$c_i\equiv 1\pmod 2$得$f\equiv \sum c_i\pmod 2$，又由于$\sum c_i\equiv c+e$（内部每条边两边个连着一个面，它必定是其一的顺时针边），得$f\equiv c+e\equiv c+v+f-1\pmod 2$，所以$c\equiv v-1\pmod 2$。因为$2|v$（否则内部不能形成$EDCC$），所以$c\equiv 1\pmod 2$。

于是，对于每个$EDCC$，有$sgn(\pi)val(\pi)=((-1)(-1))^k=1$的贡献（$k$为环数）（由于给行列式同时交换两行和交换两列行列式不变，给轮换重标号后，偶环能给$sgn(\pi)$贡献$-1$）。

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梳理一下，总的过程就是：

1. 跑FKT算法，给边定向。
2. 搞出矩阵$A$，算行列式。

时间复杂度是$O(n^3)$。