平面图完美匹配计数-FKT算法
先介绍几个概念：
环覆盖：用若干个不相交的环，覆盖所有的点。
有向偶环覆盖（Even Directed Cycle Cover，简称EDCC）：环覆盖中所有的环都是偶环，并且给所有的环定向。
定理：任意两个完美匹配的方案，都对应一个有向偶环覆盖的方案。于是有\(|PM|^2=|EDCC|\)（PM：prefect matching，即完美匹配）。
现在的问题是找\(EDCC\)的个数。
给每个点连出去一条边，并且要求每个点的度数为\(1\)。这样可以形成一个轮换，对应置换（排列）\(\pi\)。
设\(A\)为某个矩阵，计算\(\pi\)对\(\det(A)\)的贡献。则贡献为\(sgn(\pi)val(\pi)=sgn(\pi)\prod A_{i,\pi(i)}\)。
问题是构造出矩阵使得只有\(\pi\)对应着一个\(EDCC\)的时候才有贡献。
考虑给原图定向，对于有向边\((u,v)\)，钦定\(A_{u,v}=1,A_{v,u}=-1\)，如果\((u,v)\notin E\)，则\(A_{u,v}=0\)。
如此定义\(A\)之后：
- 如果存在\((i,\pi(i))\notin E\)，则贡献为\(0\)。
- 如果\(\pi\)对应的轮换中有个奇环\(C\)，那么存在\(\pi'\)，对于任意\(i\in C\)，满足\(\pi(\pi'(i))=i\)（也就是说\(\pi'\)是\(\pi\)将轮换\(C\)反向），则有\(sgn(\pi)=sgn(\pi')\)和\(val(\pi)=-val(\pi')\)。贡献将会互相抵消。
因此只有\(EDCC\)的贡献才会被计算到。
被计算到，我们希望贡献\(sgn(\pi)val(\pi)=1\)，现在的目的是给图定向使得它满足这个条件。
接下来就是FKT算法：
- 给图\(G\)建一棵生成树\(T\)，生成树内的边任意定向。
- 建另一个图\(G2\)，\(G2\)中的每个点对应\(G\)中的一个面，\((u,v)\in E_{G2}\)当且仅当分割着\(u\)和\(v\)的边不在\(E_T\)中。显然\(G2\)也是一棵树。
- 从\(G2\)的叶子结点开始操作，调整对应\(G\)的面的面上不在\(T\)中的边，使得面上的顺时针的边个数为奇数。
显然通过这样操作之后\(G\)内所有的面（不包括最外面的那个），面上顺时针的边的个数都为奇数。
可以证明：这样构图之后，所有的\(EDCC\)都满足：对于\(EDCC\)中的环，顺时针的边的个数都为奇数。
首先根据平面图欧拉定理，可以得知：\(e=v+f-1\)，其中\(v\)为环内（不包括环上）的点数，\(f\)环内的面数，\(e\)为环内的边数（不包括环上）。
设环中顺时针边的个数为\(c\)，环内面的顺时针边的个数为\(c_i\)。归纳：由\(c_i\equiv 1\pmod 2\)得\(f\equiv \sum c_i\pmod 2\)，又由于\(\sum c_i\equiv c+e\)（内部每条边两边个连着一个面，它必定是其一的顺时针边），得\(f\equiv c+e\equiv c+v+f-1\pmod 2\)，所以\(c\equiv v-1\pmod 2\)。因为\(2|v\)（否则内部不能形成\(EDCC\)），所以\(c\equiv 1\pmod 2\)。
于是，对于每个\(EDCC\)，有\(sgn(\pi)val(\pi)=((-1)(-1))^k=1\)的贡献（\(k\)为环数）（由于给行列式同时交换两行和交换两列行列式不变，给轮换重标号后，偶环能给\(sgn(\pi)\)贡献\(-1\)）。
梳理一下，总的过程就是：
- 跑FKT算法，给边定向。
- 搞出矩阵\(A\)，算行列式。
时间复杂度是\(O(n^3)\)。
