IOI2021集训队作业 278GJ Journey from Petersburg to Moscow

题目

一个无向图，一个路径的代价为经过的边的代价的前\(k\)大和（不足就全部）。问最短路。

\(n,m\le 3000\)

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枚举第\(k\)大的边权\(lim\)，把小于\(lim\)的边连着的点缩起来，大于\(lim\)的边连上。然后跑恰好\(k\)长度的最短路。

恰好\(k\)长度的最短路不好做，可以将每个边权\(w\)变成\(w-lim\)，最后加上\(lim*k\)。

这样不超过\(k\)长度的边，不足的部分相当于用\(lim\)长度来补。

时间\(O(n(n+m)\lg m)\)

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using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 3010
#define ll long long
#define INF 0x7f7f7f7f7f7f7f7f
int n,m,k;
struct edge{
	int u,v,w; 
} ed[N];
bool cmped(edge a,edge b){return a.w<b.w;}
struct EDGE{
	int to,w;
	EDGE *las;
};
struct Graph{
	EDGE e[N*2];
	int ne;
	EDGE *last[N];
	void link(int u,int v,int w){
		e[ne]={v,w,last[u]};
		last[u]=e+ne++;
	}
	void clear(){
		ne=0;
		memset(last,0,sizeof(EDGE*)*(n+1));
	}
} F;
int fa[N];
int getfa(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=getfa(fa[x]);}
ll f[N];
pair<int,ll> h[N*N];
int nh;
bool cmph(pair<int,ll> a,pair<int,ll> b){
	return a.second>b.second;
}
ll S_P(){
	memset(f,127,sizeof f);
	int S=getfa(1);
	f[S]=0;
	h[0]={S,0};
	nh=1;
	while (nh){
		int x=h[0].first;
		ll s=h[0].second;
		pop_heap(h,h+nh--,cmph);
		if (s>f[x]) continue;
		for (EDGE *ei=F.last[x];ei;ei=ei->las)
			if (s+ei->w<f[ei->to]){
				f[ei->to]=s+ei->w;
				h[nh]={ei->to,f[ei->to]};
				push_heap(h,h+nh++,cmph);
			}
	}
	int T=getfa(n);
	return f[T];
}
int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for (int i=1;i<=m;++i)
		scanf("%d%d%d",&ed[i].u,&ed[i].v,&ed[i].w);
	sort(ed+1,ed+m+1,cmped);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		fa[i]=i;
	for (int i=1;i<=m;++i)
		F.link(ed[i].u,ed[i].v,ed[i].w),F.link(ed[i].v,ed[i].u,ed[i].w);
	ll ans=S_P();
	for (int i=1;i<=m;++i){
		int x=getfa(ed[i].u),y=getfa(ed[i].v);
		if (x!=y){
			fa[x]=y;
			F.clear();
			for (int j=i+1;j<=m;++j){
				x=getfa(ed[j].u),y=getfa(ed[j].v);
				int w=ed[j].w-ed[i].w;
				if (x!=y)
					F.link(x,y,w),F.link(y,x,w);
			}
			ans=min(ans,(ll)k*ed[i].w+S_P());
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}