6816. 【2020.10.06提高组模拟】随机的排列

题目

有个排列\(p\)。

对于两个位置\(i\)和\(j\)，如果有边从\(i\)连向\(j\)，当且仅当\(p_i>p_j\)且对于任意\(k\in (\min(i,j),\max(i,j))\)，\(p_k<p_j\)。

你要选择一些点，选择某个点之后这个点以及其连向的点会被覆盖。

求要覆盖所有点最少需要的点。

支持交换相邻两个位置的操作。

\(n\le 10^5\)

\(q\le 2*10^4\)

数据随机。

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转化一下题意：连边的方式相当于，对序列建一棵笛卡尔树，一个点连向的它左子树的右链和右子树的左链。

先不考虑修改，先考虑一个询问改怎么求：

DP：设\(f_{i,0/1,0/1,0/1}\)表示\(i\)的子树中，\(i\)自己是否被覆盖，\(i\)的左链是否被覆盖，\(i\)的右链是否被覆盖，此时的最小代价。

接下来要支持修改，那么可以维护这棵笛卡尔树。由于数据随机，所以树高为\(O(\lg n)\)级别。

题解是根据交换相邻两个位置的特殊性来考虑，我是直接改节点的权值然后旋转（这样可以稍微扩展一下题目，变成交换任意两个）。

于是总时间复杂度为\(O(8q\lg n)\)

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using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#define N 100010
int n,Q;
int p[N];
struct Node *null,*rt;
struct Node{
	Node *fa,*c[2];
	int v;
	int f[2][2][2];
	bool getson(){return fa->c[0]!=this;}
	void upd(){
		for (int k=0;k<2;++k)
			for (int i=0;i<2;++i)
				for (int j=0;j<2;++j){
					f[k][i][j]=c[0]->f[0][i][0]+c[1]->f[0][0][j]+1;
					if (!k)
						f[k][i][j]=min(f[k][i][j],c[0]->f[i][i][1]+c[1]->f[j][1][j]);
				}
	}
	int ans(){return f[1][1][1];}
	void rotate(){
		Node *y=fa,*z=y->fa;
		if (z==null)
			rt=this;
		else
			z->c[y->getson()]=this;
		int k=getson();
		fa=z;
		y->c[k]=c[!k],c[!k]->fa=y;
		c[!k]=y,y->fa=this;	
		y->upd(),upd();
	}
} d[N];
Node *build(){
	null=d;
	*null={null,null,null,0};
	static int st[N];
	int tp=0;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		d[i].v=p[i];
		Node *lst=null;
		while (tp && p[st[tp]]<p[i]){
			lst=&d[st[tp]];
			--tp;
		}
		lst->fa=&d[i];
		d[i].c[0]=lst;
		d[i].c[1]=null;
		d[i].fa=&d[st[tp]];
		d[st[tp]].c[1]=&d[i];
		st[++tp]=i;
	}
	return &d[st[1]];
}
void init(Node *t){
	if (t==null) return;
	init(t->c[0]);
	init(t->c[1]);
	t->upd();
}
void change(Node *x,int _v){
	x->v=_v;
	while (x!=rt && x->v>x->fa->v)
		x->rotate();
	while (x->v<max(x->c[0]->v,x->c[1]->v)){
		if (x->c[0]->v>x->c[1]->v)
			x->c[0]->rotate();
		else
			x->c[1]->rotate();
	}
	for (;x!=null;x=x->fa)
		x->upd();
}
int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	freopen("permutation.in","r",stdin);
	freopen("permutation.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&Q);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&p[i]);
	rt=build();
	init(rt);
	printf("%d\n",rt->ans());
	while (Q--){
		int x;
		scanf("%d",&x);
		change(&d[x],p[x+1]);
		change(&d[x+1],p[x]);
		swap(p[x],p[x+1]);
//		init(rt);
//		for (int i=1;i<=n;++i)
//			if (d[i].fa!=null)
//				assert(d[i].fa->v>d[i].v);
		printf("%d\n",rt->ans());
	}
	return 0;
}