5507. 【清华冬令营2018模拟】取石子

题目

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正解

直接说做法了，挺好理解的。
钦定\(a\le b\)。
设\(r=x\mod (a+b)\)。
分四种情况讨论：

1. \(r\in [0,a-1]\)。这个情况没有意义。
2. \(r\in [a,b-1]\)。这个情况下，\(A\)能多走一步而\(B\)不能，所以只要出现了这个情况\(A\)必胜。
3. \(r\in [b,2a-1]\)。这个情况下，两个人都能各走一步。所以这个情况相当于改变先后手顺序。
4. \(r\in [2a,a+b-1]\)。这个情况下，\(A\)能多走至少\(2\)步，\(B\)能多走至少\(1\)步。如果\(B\)先手，相当于有个情况\(3\)；如果\(A\)先手，\(A\)必胜。如果这个情况出现了两次，那么\(A\)无论先手后手都必胜。

可能\(b\)和\(2a\)的大小关系会有问题，但是没有太大关系。（按照代码中的那样分类就是了）

答案先乘上\(2^{cnt1}\)。
计算先手必胜和后手必胜的方案：
先手必胜：\(\sum_{i\mod 2=1} \binom{cnt3}{i}+\sum_{i\mod 2=0}\binom{cnt3}{i}cnt4\)
后手必胜：\(\sum_{i\mod 2=0} \binom{cnt3}{i}\)（这里没有\(cnt4\)的原因是如果有\(A\)必胜）

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100010
#define mo 1000000007
#define ll long long
ll qpow(ll x,ll y=mo-2){
	ll r=1;
	for (;y;y>>=1,x=x*x%mo)
		if (y&1)
			r=r*x%mo;
	return r;
}
ll fac[N],ifac[N];
ll C(int m,int n){return fac[m]*ifac[n]%mo*ifac[m-n]%mo;}
void initC(int n){
	fac[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		fac[i]=fac[i-1]*i%mo;
	ifac[n]=qpow(fac[n]);
	for (int i=n-1;i>=0;--i)
		ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mo;
}
int n,a,b;
int x[N];
ll ansA,ansB,ansF,ansS;
void work(){
	initC(n);
	ll cnt1=0,cnt2=0,cnt3=0,cnt4=0;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		int r=x[i]%(a+b);
		if (r<a)
			cnt1++;
		else if (r<b)
			cnt2++;
		else if (r<a*2)
			cnt3++;
		else
			cnt4++;
	}
	for (int i=0;i<=cnt3;++i)
		if (i&1)
			(ansF+=C(cnt3,i))%=mo;
		else{
			(ansS+=C(cnt3,i))%=mo;
			(ansF+=C(cnt3,i)*cnt4)%=mo;
		}
	ll tmp=qpow(2,cnt1);
	(ansF*=tmp)%=mo;
	(ansS*=tmp)%=mo;
	ansA=(qpow(2,n)-ansF-ansS+mo+mo)%mo;
}
int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("stone.in","r",stdin);
	freopen("stone.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&x[i]);
	if (a>b){
		swap(a,b);
		work();
		swap(ansA,ansB);
	}
	else
		work();
	printf("%lld %lld %lld %lld\n",ansA,ansB,ansF,ansS);
	return 0;
}