常系数齐次线性递推
常系数齐次线性递推
参考资料
https://blog.csdn.net/hzj1054689699/article/details/85683342
https://www.luogu.com.cn/blog/Zhang-RQ/chang-ji-shuo-ji-ci-xian-xing-di-tui-chu-tan
问题描述
见洛谷模板题。
有个数列\({a}\)，给出前\(k\)项，即\(a_0,a_1,\dots,a_{m-1}\)
对于后面的所有\(a_n\)有\(a_n=\sum_{i=1}^{k}f_ia_{n-i}\)
\(f\)给出。
暴力？
小学生：直接干。
初中生：矩阵乘法。
更好的做法
现在设\(A\)为转移矩阵。列向量\(\vec v=(a_{k-1},a_{k-2},\dots,a_0)\)，满足\(A\vec v=(a_{k},a_{k-1},\dots,a_1)\)
我们要求\(A^n\vec v\)中的第\(k\)项。
先介绍一些奇奇怪怪的东西（以下的东西不带严谨证明）
对于一个矩阵\(A\)，如果能找到一个数\(\lambda\)和一个列向量\(\overline v\)，满足\(\lambda\vec v=A\vec v\)，那么分别称它们是一组特征值和特征向量。
移项得\((\lambda E-A)\vec v=0\)
这个方程满足当且仅当\(\det(\lambda E -A)=0\)（不会证）
用点基本的数学知识可以算出\(\det(\lambda E-A)=\lambda^k-\sum_{i=0}^{k-1}a_{k-i}\lambda^i\)
我们可以将其看作一个关于\(\lambda\)的多项式（叫特征多项式），记作\(g(\lambda)\)。
Cayley-Hamilton定理：\(g(A)=O\)（\(O\)表示全\(0\)的矩阵）
（感性理解：\(AE-A=0\)，所以这个东西成立。当然这样证明显然是不对的）
将\(A\)替代\(\lambda\)，可以看做一个矩阵的多项式。并且显然每一项底数为\(A\)的两个多项式相乘符合交换律。
考虑除法，形如\(A^n=p(A)g(A)+q(A)\)
由于\(g(A)=O\)，所以\(A^n=q(A)\)
现在我们就真把它当多项式来算。我们计算\(q(x)\equiv x^n \pmod {g(x)}\)
用倍增+多项式取模算出\(q(x)\)的每一项的系数。
现在我们要求\((A^n\vec v)_m\)，即\(\sum_{i=0}^{k-1}q_i(A^i\vec v)_m=\sum_{i=0}^{k-1}q_ia_i\)
于是做完了。总时间复杂度\(O(k\lg k \lg n)\)。
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 65536
#define mo 998244353
#define ll long long
ll qpow(ll x,ll y=mo-2){
ll r=1;
for (;y;y>>=1,x=x*x%mo)
if (y&1)
r=r*x%mo;
return r;
}
int n,k;
int a[N],f[N];
int nN,re[N];
void setlen(int n){
int bit=0;
for (nN=1;nN<=n;nN<<=1,++bit);
for (int i=1;i<nN;++i)
re[i]=re[i>>1]>>1|(i&1)<<bit-1;
}
void clear(int A[],int n){memset(A,0,sizeof(int)*n);}
void copy(int A[],int a[],int n){
clear(A,nN);
for (int i=0;i<=n;++i)
A[i]=a[i];
}
void dft(int A[],int flag){
for (int i=0;i<nN;++i)
if (i<re[i])
swap(A[i],A[re[i]]);
static int wnk[N];
for (int i=1;i<nN;i<<=1){
ll wn=qpow(3,flag==1?(mo-1)/(2*i):mo-1-(mo-1)/(2*i));
wnk[0]=1;
for (int k=1;k<i;++k)
wnk[k]=wnk[k-1]*wn%mo;
for (int j=0;j<nN;j+=i<<1)
for (int k=0;k<i;++k){
ll x=A[j+k],y=(ll)A[j+k+i]*wnk[k];
A[j+k]=(x+y)%mo;
A[j+k+i]=(x-y)%mo;
}
}
if (flag==-1)
for (int i=0,invn=qpow(nN);i<nN;++i)
A[i]=(ll)A[i]*invn%mo;
for (int i=0;i<nN;++i)
A[i]=(A[i]+mo)%mo;
}
void multi(int c[],int a[],int b[],int n,int an=-1,int bn=-1){
if (an==-1) an=n-1;
if (bn==-1) bn=n-1;
static int A[N],B[N],C[N];
setlen(an+bn);
copy(A,a,an),dft(A,1);
if (a==b)
for (int i=0;i<nN;++i)
C[i]=(ll)A[i]*A[i]%mo;
else{
copy(B,b,bn),dft(B,1);
for (int i=0;i<nN;++i)
C[i]=(ll)A[i]*B[i]%mo;
}
dft(C,-1);
for (int i=0;i<=min(n-1,an+bn);++i)
c[i]=C[i];
}
void getinv(int c[],int a[],int n,int an=-1){
if (an==-1) an=n-1;
static int b[N],g[N];
int nn=1;for (;nn<n;nn<<=1);
clear(b,nn);
b[0]=qpow(a[0]);
for (int i=1;i<n;i<<=1){
clear(g,i<<1);
multi(g,b,b,2*i,i-1,i-1);
multi(g,g,a,2*i,2*i-1,min(2*i-1,an));
for (int j=0;j<2*i;++j)
b[j]=(2*b[j]-g[j]+mo)%mo;
}
for (int i=0;i<n;++i)
c[i]=b[i];
}
void getrev(int A[],int a[],int n){for (int i=0;i<=n;++i) A[i]=a[n-i];}
void getdiv(int c[],int a[],int b[],int an,int bn){
static int A[N],B[N],C[N];
clear(A,an-bn+1),clear(B,an-bn+1);
getrev(A,a,an),getrev(B,b,bn);
getinv(B,B,an-bn+1,an-bn+1);
multi(C,A,B,an-bn+1,an-bn,an-bn);
getrev(c,C,an-bn);
}
void getmod(int c[],int a[],int b[],int an,int bn){
static int D[N];
getdiv(D,a,b,an,bn);
multi(D,D,b,an+1,an-bn,bn);
for (int i=0;i<bn;++i)
c[i]=(a[i]-D[i]+mo)%mo;
}
int g[N],q[N],mx;
void dfs(int n){
if (n==0){
q[0]=1;
mx=0;
return;
}
if (n&1){
dfs(n-1);
for (int i=mx;i>=0;--i)
q[i+1]=q[i];
q[0]=0;
if (mx+1<k)
mx++;
else{
getmod(q,q,g,mx+1,k);
mx=k-1;
}
}
else{
dfs(n>>1);
multi(q,q,q,2*mx+1,mx,mx);
if (2*mx<k)
mx*=2;
else{
getmod(q,q,g,2*mx,k);
mx=k-1;
}
}
}
int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
scanf("%d%d",&n,&k);
for (int i=1;i<=k;++i)
scanf("%d",&f[i]);
for (int i=0;i<k;++i)
scanf("%d",&a[i]),(a[i]+=mo)%=mo;
for (int i=0;i<k;++i)
g[i]=(mo-f[k-i])%mo;
g[k]=1;
dfs(n);
ll ans=0;
for (int i=0;i<k;++i)
(ans+=(ll)q[i]*a[i])%=mo;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
