2020全国统一省选day1 魔法商店
题目
正解
据说是一道论文题……
论文：2018集训队论文高睿泉《浅谈保序回归问题》
保序回归问题：
有一个正整数\(p\)，给出一个有向图，点\(i\)有权值\((w_i,y_i)\)，需要调整\(y_i\)的值使得\(y_i\)满足有向无环图的偏序关系。调整的代价为前后\(y_i\)的差的\(p\)次方乘\(w_i\)，求最小的代价。
形式化地说：给每个点赋一个新的权值\(f_i\)，使得每条边\((u,v)\in E\)满足\(f_u\leq f_v\)，求\(\sum w_i|f_i-y_i|^p\)的最小值。
这样的问题记作\(L_p\)
其实这种问题之前已经做过一次了：jzoj6734. 【2020.06.18省选模拟】T2 航行
没错就是比赛的前天做到的题
套路做法：整体二分，强制每个权值只能选择\(mid\)或\(mid+1\)，跑最大（小）权闭合子图，选\(mid\)的点最终的权值\(\leq mid\)，选\(mid+1\)的点最终的权值\(>mid\)，分开来递归求解。
之前做的那一道题的限制关系比较优美，所以可以DP处理。
最大（小）权闭合子图：
“闭合子图”就是某个点集\(V\)，满足对于任意\(u \in V\)，对于任意\((u,v)\in E\)都有\(e\in V\)。用人话说就是从\(V\)中的每个点开始遍历，
能够遍历到的每个点都在\(V\)中。每个点上有个权值\(w_i\)，要选出一个闭合子图使得点权最大。
一般套路：网络流，建个新图。对于每个点\(i\)，如果\(w_i>0\)就连边\((S,i,w_i)\)，如果\(w_i<0\)就连边\((i,T,-w_i)\)。原图中的每一条边都在新图中对应地连，容量无穷。
答案为\(\sum_{w_i>0} w_i-最小割\)
理解：如果不考虑限制，则贪心地选所有正权点是最优的。加入限制，对于一个点\(u\)，如果它不选，则所有\(v\)，满足从\(v\)开始遍历可以走到\(u\)，这些\(v\)都不能选。显然所有\(u\)满足这个条件是充分必要条件。
放在图中来看：割掉边\((u,T)\)，即选\(v\)，或者割掉边\((S,v)\)，即不选\(v\)。
具体来说，求解最大（小）权闭合子图的时候，如下处理：
将权值选\(mid\)记作“不选”，将权值选\(mid+1\)记作“选”。
对于点\(i\)，它的权值设为\(-(w(i,mid+1)-w(i,mid))\)（\(w(i,f)\)为\(y_i\)变为\(f\)时的代价）。为什么这么设，因为本该跑最小权闭合子图，取个负号就变成最大权闭合子图了。当然也可以不这样设。
如果某个点“选”，那么它能遍历到的所有点都必须“选”。由此得出限制关系，建图。
跑最大权闭合子图。
答案即\(\sum w(i,mid)-最大权\)
具体方案看\(S\)集或\(T\)集即可。
这题的正解大概可以分为两个部分：求出限制关系和求解保序回归问题。
后者上面已经讨论过了，就讲述一下前者。
只考虑\(A\)带来的限制，\(B\)同理。
显然一个礼品集合就是一个线性基。假如有另一个线性基\(C\)，它可以通过从\(A\)开始，依次替换线性基中的向量得到，并且保证替换的过程中一直都是线性基。
表示不会证。
假设知道了上面的结论是对的，那么显然我们只需考虑\(A\)被替换了一个元素的情形。于是，对于每个数\(c_i\)，找到\(c_i\)能替换哪些元素，钦定它们都要小于等于\(c_i\)。
不难发现\(c_i\)能替换哪些元素，等价于\(c_i\)能被表示成\(A\)中的哪些元素异或起来。
这应该是线性基的一个基本操作吧。建线性基的时候，用个bitset来表示线性基中的某个数是原来的哪几个数异或过来。查询的时候，将异或的线性基中的几个数的bitset异或起来。详见代码。
这题\(m\)比较小，直接开整型压位即可。
（有更优美的操作请路过的大佬指教）
代码
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#define N 1005
#define M 64
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF LLONG_MAX
int n,m;
ull c[N];
int v[N],y[N];
int a[M],b[M];
struct edge{
int u,v;
} ed[N*M*2];
int cnt;
void getGraph(int a[],int flag){
static ull s[M],p[M];
memset(s,0,sizeof s);
memset(p,0,sizeof p);
for (int i=0;i<m;++i){
ull x=c[a[i]],t=1ull<<i;
for (int j=0;j<64;++j)
if (x>>j&1){
if (s[j]){
x^=s[j];
t^=p[j];
}
else{
s[j]=x;
p[j]=t;
break;
}
}
}
for (int i=1;i<=n;++i){
ull x=c[i],t=0;
for (int j=0;j<64 && x;++j)
if (x>>j&1){
x^=s[j];
t^=p[j];
}
for (int j=0;j<m;++j)
if (t>>j&1 && a[j]!=i)
ed[cnt++]=(flag==1?(edge){a[j],i}:(edge){i,a[j]});
}
}
struct EDGE{
int to;
ll c;
EDGE *las;
} e[(N*M*2+N)*2];
int ne;
EDGE *last[N];
int S,T;
void link(int u,int v,ll c){
e[ne]={v,c,last[u]};
last[u]=e+ne++;
}
#define rev(ei) (e+(int((ei)-e)^1))
int dis[N],gap[N],BZ;
EDGE *cur[N];
ll dfs(int x,ll s){
if (x==T)
return s;
ll have=0;
for (EDGE *ei=cur[x];ei;ei=ei->las){
cur[x]=ei;
if (ei->c && dis[ei->to]+1==dis[x]){
ll t=dfs(ei->to,min(s-have,ei->c));
ei->c-=t,rev(ei)->c+=t,have+=t;
if (have==s)
return s;
}
}
cur[x]=last[x];
if (!--gap[dis[x]])
BZ=0;
++dis[x];
++gap[dis[x]];
return have;
}
void flow(){
BZ=1;
while (BZ)
dfs(S,INF);
}
int p[N];
ll need(int x,int y){return (ll)(v[x]-y)*(v[x]-y);}
int vis[N],bz;
void find(int x){
vis[x]=bz;
for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
if (ei->c && vis[ei->to]!=bz)
find(ei->to);
}
void divide(int lv,int rv,int p[],int n,edge ed[],int m){
static int tmpp[N];
static edge tmped[N*M*2];
if (n==0)
return;
if (lv==rv){
for (int i=0;i<n;++i)
y[p[i]]=lv;
return;
}
int mid=lv+rv>>1;
ne=0;
for (int i=0;i<n;++i)
last[p[i]]=0;
last[S]=last[T]=0;
for (int i=0;i<m;++i){
link(ed[i].u,ed[i].v,INF);
link(ed[i].v,ed[i].u,0);
}
for (int i=0;i<n;++i){
ll w=-(need(p[i],mid+1)-need(p[i],mid));
if (w>0)
link(S,p[i],w),link(p[i],S,0);
else if (w<0)
link(p[i],T,-w),link(T,p[i],0);
}
dis[S]=dis[T]=0;
for (int i=0;i<n;++i)
dis[p[i]]=0;
gap[0]=n+2;
flow();
gap[dis[S]]--,gap[dis[T]]--;
for (int i=0;i<n;++i)
gap[dis[p[i]]]--;
++bz,find(S);
int p0=0,p1=n-1;
for (int i=0;i<n;++i)
if (vis[p[i]]!=bz)
tmpp[p0++]=p[i];
else
tmpp[p1--]=p[i];
memcpy(p,tmpp,sizeof(int)*n);
int e0=0,e1=m-1;
for (int i=0;i<m;++i)
if (vis[ed[i].u]!=bz && vis[ed[i].v]!=bz)
tmped[e0++]=ed[i];
else if (vis[ed[i].u]==bz && vis[ed[i].v]==bz)
tmped[e1--]=ed[i];
memcpy(ed,tmped,sizeof(edge)*m);
divide(lv,mid,p,p0,ed,e0);
divide(mid+1,rv,p+p1+1,n-1-p1,ed+e1+1,m-1-e1);
}
int main(){
freopen("shop.in","r",stdin);
freopen("shop.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;++i)
scanf("%llu",&c[i]);
for (int i=1;i<=n;++i)
scanf("%d",&v[i]);
for (int i=0;i<m;++i)
scanf("%d",&a[i]);
for (int i=0;i<m;++i)
scanf("%d",&b[i]);
getGraph(a,1),getGraph(b,-1);
for (int i=0;i<n;++i)
p[i]=i+1;
S=n+1,T=n+2;
divide(0,1000000,p,n,ed,cnt);
ll ans=0;
for (int i=1;i<=n;++i)
ans+=need(i,y[i]);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
