杜教筛学习笔记

看着身边的大佬们这么快就学了各种筛，很是紧张啊……
接下来强行学习一下

简介

用途：\(O(n^\frac{2}{3})\)求积性函数的前缀和。

本质就是推式子。
设有某个函数\(f(i)\)，我们要求\(\sum_{i=1}^nf(i)\)
根据具体情况建出辅助函数\(g(i)\)。求狄利克雷卷积\(h=g*f\)
记\(S(n)=\sum_{i=1}^n f(i)\)
开始推式子：

\[\sum_{i=1}^n h(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d}) \\ =\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(i) \\ =\sum_{d=1}^ng(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\]

将右边式子第一项拆出来：

\[=g(1)S(n)+\sum_{d=2}^ng(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]

移项得\(g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n h(i)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\)
这个就是杜教筛的套路式了。
使用杜教筛的时候，注意\(\sum_{i=1}^n h(i)\)和\(g(i)\)要能够快速地求出来。
用整除分块来搞，时间复杂度据说是\(O(n^{\frac{2}{3}})\)

于是，学会这个套路之后，问题主要就是如何选取\(g\)（以及\(h\)）。

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实现

洛谷P4213 【模板】杜教筛（Sum）
注意实现的时候，最好把\(n\)比较小的\(S(n)\)都预处理出来。
否则哈希容易爆炸。

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#define ll long long
#define M 1000000
int n;
int p[M+10],np;
bool inp[M+10];
int phi[M+10],mu[M+10];
ll sum1[M+10],sum2[M+10];
unordered_map<int,ll> ans1,ans2;
ll get1(int n){
	if (n<=M)
		return sum1[n];
	auto p=ans1.find(n);
	if (p!=ans1.end())
		return p->second;
	ll res=(ll)(n+1)*n>>1;
	for (unsigned i=2,j=2;i<=n;i=j+1){
		j=n/(n/i);
		res-=(j-i+1)*get1(n/i);
	}
	return ans1[n]=res;
}
ll get2(int n){
	if (n<=M)
		return sum2[n];
	auto p=ans2.find(n);
	if (p!=ans2.end())
		return p->second;
	ll res=1;
	for (unsigned i=2,j=2;i<=n;i=j+1){
		j=n/(n/i);
		res-=(j-i+1)*get2(n/i);
	}
	return ans2[n]=res;
}
int main(){
	phi[1]=mu[1]=1;
	for (int i=2;i<=M;++i){
		if (!inp[i]){
			p[++np]=i;
			phi[i]=i-1;
			mu[i]=-1;
		}
		for (int j=1;j<=np && i*p[j]<=M;++j){
			inp[i*p[j]]=1;
			if (i%p[j]==0){
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
				mu[i*p[j]]=0;
				break;
			}
			phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for (int i=1;i<=M;++i){
		sum1[i]=sum1[i-1]+phi[i];
		sum2[i]=sum2[i-1]+mu[i];
	}
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld %lld\n",get1(n),get2(n));
	}
	return 0;
}

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参考资料
杜教筛