6516. 【GDOI2020模拟03.28】数二数（two）

题目

有一个\([1,n]\)的整数，可以询问\([L,R]\)，表示整个整数是否在这个区间里。
计算有多少个询问集合，使得这些询问过后，无论整数是\([1,n]\)中哪一个都能被唯一确定。
\(n\leq 300\)

思考历程

简化一下题目大意：可以通过询问，将数字分成若干组。
一开始\([1,n]\)为一组。
某个询问\([L,R]\)之后，将这个东西与当前分成的若干组分别取交，从而进一步分组。
到最后如果每一组如果仅仅包含一个数字，那么就是一种合法的方案。

我只会强行状压DP……然而并没有这档部分分。

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正解

正解是个玄妙的东西。官方题解在此。

分组的更加严谨的解释：如果两个数字被包含的询问集合完全相同，那么它们就被分到同一组。
给组别分配一个编号，令\(V_i\)表示数字\(i\)在哪个组。
如果\(V_i\)互不相同，那么这就是一个合法的方案；如果有至少一个相同，那么就不合法。

考虑用总方案减去不合法的方案。
有个奇妙的性质：如果存在四个数字\(a,b,c,d\)满足\(a<b<c<d\)且\(V_a=V_c,V_b=V_d\)，那么一定有\(V_a=V_b=V_c=V_d\)
用人话说就是，每个组别的最左端和最右端形成的区间，不可能真相交。
题解用一种奇妙的方法将\(V\)缩短。
假如\(V=[1,2,3,2,4,2,5,5,10,6,7,8,7,6,9]\)
可以通过以下方式构造出\(V'\)：
在\(V\)中从左往右扫，见到一个组别号\(x\)，首先将\(x\)丢到\(V'\)的后面，然后找出\(l_x\)和\(r_x\)分别表示类别为\(x\)的最左端和最右端，将\([l_x,r_x]\)从\(V\)中删除。
这个例子构造出来的\(V'=[1,2,5,10,6,9]\)

至于这个东西有什么用，我先放出题解原文：
You might be wondering why is this helpful? Well, it's helpful because any set of questions that corresponds to \(V\) should respect the following:

1. Some questions are contained by a removed subarray. There is basically no restriction here
2. All the other questions should uniquely identify \(V'\) - we have the first hint of dynamic programming

本人英语不好，解释得不好也请见谅……
要搞出\(V\)和\(V'\)之间的联系，先考虑能得到\(V\)的询问集合。

1. 部分的询问区间是已经被\(V\)变成\(V'\)的过程中，删去的子区间所包含的。这些询问基本上对\(V'\)没有限制。
2. 除去那些对\(V'\)没有用的询问，剩余询问集合应该唯一地确定\(V'\)。

那么可以从\(V'\)推到\(V\)，限制只在新增的那些子区间中。
设\(f_i\)表示\([1,i]\)合法的方案数。考虑用总数减去不合法的。
\(g_{i,j}\)表示\(V\)总长为\(i\)，经过缩减处理的\(V'\)总长为\(j\)的方案数。这个东西就是\(V'\)到\(V\)新增的限制。

\[f_i=2^{C_{i+1}^2}-\sum_{j=1}^{i-1}f_jg_{i,j} \]

至于\(g_{i,j}\)的转移，考虑在\(V'\)后面新增一个组别编号。分为两种情况：这个组别仅仅出现一次；这个组别出现了至少两次，枚举左端和右端之间空隙的长度\(k\)，在这个长度为\(k\)的区间里的询问自由组合。

\[g_{i,j}=g_{i-1,j-1}+\sum_{k=0}^{}g_{i-k-2,j-1}2^{C_{k+1}^1} \]

时间复杂度\(O(n^3)\)。

在网上查题解的时候还发现这个方法可以用拉格朗日反演来优化，时间复杂度\(O(n \lg n)\)的。
表示没有看懂，以后心血来潮就来这里看看。

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define N 310
int n,mo;
ll p2[N*N];
ll f[N],g[N][N];
int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("two.in","r",stdin);
	freopen("two.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&mo);
	p2[0]=1;
	for (int i=1;i<=(n+1)*n>>1;++i)
		p2[i]=p2[i-1]*2%mo;
	g[0][0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=i;++j){
			ll s=g[i-1][j-1];
			for (int k=0;i-k-2>=0;++k)
				s=(s+g[i-k-2][j-1]*p2[(k+1)*k>>1])%mo;
			g[i][j]=s;
		}
	for (int i=1;i<=n;++i){
		ll s=0;
		for (int j=1;j<i;++j)
			s=(s+f[j]*g[i][j])%mo;
		f[i]=(p2[(i+1)*i>>1]-s%mo+mo)%mo;
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}

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总结

好思维的一道题目……
如果在比赛的时候给我想，我死也想不出来……
论脑子的重要性……