6371. 【NOIP2019模拟2019.9.28】基础图论练习题

题目

题目大意

维护一个无向图的割边条数，支持加边和删边。

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正解

（PS：这是我很久之前在OJ上打出来的题解，现在直接copy过来）
题解只有一句话，估计没多少人可以看得懂。感觉出题人偷懒不想写题解……

刚了一个晚上终于理解了题解的做法……

由于本人还没有AC（时间比较匆忙），所以只是在这里梳理一下思路，顺便造福一下人类。

首先都知道线段树分治是个什么意思吧？

线段树分治是一种有效地利用撤销操作替代删除操作的套路。在这题中，所有的加边删边操作变成了加边和撤销操作。可以把操作看成一个栈，加边的时候就是入栈，撤销的时候只会从后往前撤销，就是弹栈。

先离线一波，处理出每一条边存活的时间区间，然后将它挂在线段树上。学过线段树的人都知道它会覆盖线段树上的O(lg n)个节点。

接下来遍历整棵线段树。在经过一个节点的时候，就将挂在上面的所有边加进来。因为这些边覆盖了这个节点，表示这些边出现的时间区间完全覆盖这个节点所代表的区间，也就意味着整个区间内都会有这些边。一直遍历下去，到了叶子结点就可以统计答案了。回溯的时候，倒着将挂在节点上的边给撤销掉。

在这题当中可以用LCT来实现，不过是O(n lg^2 n)的，会TLE。

上面的实际上是49分的做法……现在来讲讲题解的100分做法。

在某条边的时间区间加入线段树的时候，它会经过一些节点。学过线段树的人都知道这些节点的个数是O(lg n)个的，并且包含它覆盖的节点（实际上经过的点就是覆盖的点到根路径的并）。我们不仅将边挂在时间区间覆盖的节点上，再另外用个数组（或链表）将它挂在经过的点。

挂在经过的点上意味着时间区间和节点表示的区间有交集，也就是说这个边会对子树中部分叶子结点的答案会有影响。

在遍历线段树的时候记下当前的割边个数。我们存下每一层的图（其实是森林）。每当到了一个节点，先把上一层的图给复制过来。将挂在节点上的所有边的端点搞出来，成为一个点集。我们称之为有用的点集。对于点集外面的点，后面就不需要理它了，就可以把它给缩起来。怎么缩点？实际上就是找出有用的点集，然后建虚树。

图中的每条边都要记下这条边上有多少条割边。在建虚树缩边的时候，就要将路上的边记录的割边数加起来。

建虚树的过程可以用O(原图点数)的方法，原图就是上一层的图。具体来说，就是dfs一遍，对于每棵子树，维护子树当中是否有有用点，如果有就记有用点的编号。回溯的时候，如果两个或以上个子树中有有用点，那么它也要被加进虚树内。否则它就不需要加。

在进行了上面的操作之后，整个图只剩下有用的点。接下来就将覆盖这个节点的边一鼓作气地全部加进来。加了之后跑一遍Tarjan，将环缩成点（其实也不用打Tarjan，具体来说，如果出现了返祖边，就直接将这里到祖先缩起来就可以了，毕竟这是个无向图）。

当然，在加边、缩点的过程中，记得维护一下答案（建议答案不要在最后计算，因为在建虚树的时候，有些无用的点可能会是叶子结点，它连着的那条边是永远都不会被缩掉的。如果在最后统计答案，就会将它给忽略；不过实际上也可以记一下无用的点并且还是叶子结点的贡献，在最后统计时加上。）

时间复杂度自己随便想一想就知道了，此处不再赘述。

这个东西实现起来肯定是很麻烦的。先要预处理出所有边的存活时间；其次是维护一棵线段树，每个节点维护有哪些边覆盖这里，哪些边经过这里；然后在遍历线段树的过程中，每一层都要存一个图（实际上这个图是边双的图），图的每条边要记录边所代表的割边数量，记录有哪些有用点，维护一个并查集表示有用点在哪个边双，还有个答案；还要加边和缩点操作，打Tarjan或者直接用并查集来缩。

所以说，时间复杂度要乘上一个巨大的常数……

没有代码，根本没有时间去打……
%%%LYL，在耗费了我两小时的假期时间以及话费之后，刚了几星期将这题AC了……

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总结

线段树分治是一个常见的套路，作用就是将删除操作变成撤销操作，操作序列变成进栈出栈的形式。
进行覆盖线段树上节点的操作时，经过的点的个数是\(\log\)级别的。
所以记录经过某个点的操作，然后进行各种优化操作，这样子记录的总次数是\(n\log n\)的。