[JZOJ6279] 2019.8.5【NOIP提高组A】优美序列
题目
题目大意
给你一个排列以及若干区间，对于每个区间，问包含它的最小的优美序列的区间。
所谓优美序列，即将权值排序后能够得到连续的排列。
思考历程
优美序列显然满足这个条件：\(mx-mn=r-l\)
想了半天没有想出正解，于是开始打水法。
首先\(n,m\leq 1000\)的时候可以暴力地求出每个区间是否是优美区间，然后更新它们子区间的答案就行了。
建两棵线段树（其实如果是\(ST\)表会更好），一个按照下标建，维护区间最大最小值；
一个按照权值建，维护权值区间的最左最右下标。
离线，将所有询问丢进一个堆里，每次取出最小的区间来搞。找出最大最小值，再找出最大最小值之间的最左最右下标，将区间扩展。
如果现在这个区间之前处理过，那就直接用并查集将两者的答案合并在一起。可以在长度为第一关键字的时候以左端点为第二关键字，那么如果这个区间被处理过，它肯定是上一个区间。
扩展后的区间重新丢到堆里。如果不能扩展，就说明找到了答案。
这个方法可以得到很优秀的\(76\)分。
水法
不得不提YYT大爷的水法。
题目说是随机排列（但由于是在题面上说而不是数据上，这多少有些不可信。），按照这样的性质，可得优美序列不会太多。
于是就将所有的优美序列求出来。
枚举一个左端点\(l\)，从区间\([l,l+1]\)开始，利用上面的水法进行扩展。如果扩展后左端点不为\(l\)则退出（因为已经算过了）。这样就可以处理出所有的优美序列。
后面就是一个二维偏序的问题了。
正解
题解的做法是分治。看起来好有道理，实际上……根本不知道怎么做。（题解过于简略）
题解说的时间复杂度是\(O(n\lg^2 n)\)的。
WHH在分治的基础上想到了一个\(O(n\lg^3 n)\)的做法。就在这里随便介绍一下。
同样分治。根据\(mx\)和\(mn\)分别在左边或右边分成四种情况来处理，还要用主席树来搞……
有个绝对的正解是析合树，正在学习……（WMY会了%%%）
这题就是析合树的模板啊……
晚上的时候我在床上思考，想出了一个分块的做法。
枚举右端点\(r\)，左端点要满足\(l+mx_l-mn_l=r\)。设式子左边的值为\(s_l\)。
之前见过类似的题目。可以用两个单调栈分别维护\(mx_l\)和\(mn_l\)，然后维护\(s_l\)。
由于我要使得等式的两边相等，所以要打分块。
对于每个分块开个桶就好了。
对于一个询问\([l,r]\)，从右端点开始向后枚举，找到第一个\(i\)满足存在一个区间\([j,i]\)包含\([l,r]\)。那么这个区间就是答案（多个右端点相同的区间取最小的）。
为什么呢？如果说存在\(i<i'\)，有区间\([j',i']\)也包含\([l,r]\)且长度小于\([j,i]\)，那么两个区间的交\([j',i]\)必然也是个优美序列，所以答案应该是\([j',i]\)这个区间。
两个优美序列的交必定也是优美序列，证明就不再赘述了。
然后就可以\(O(n\sqrt n)\)卡过这道题。
后来发现了一个令人悲伤的真相：实际上，\(mx_l-mn_l\geq r-l\)
原因就不用说了吧……
在线段树上维护\(s_l\)的最小值就好了，寻找的时候在线段树上二分，找到满足不等式左右两边相等的\(l\)。
时间复杂度\(O(n \lg n)\)，优化了好多……
我觉得这才是真正意义上的正解。分治做法还不知道是什么东西，析合树又是新的知识点，而这个方法应该是适于完全没有学过析合树的，用来锻炼思维的方法……
代码
只打了分块做法……
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define N 100010
#define maxK 400
inline int input(){
char ch=getchar();
while (ch<'0' || '9'<ch)
ch=getchar();
int x=0;
do{
x=x*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
while ('0'<=ch && ch<='9');
return x;
}
int n,m;
int a[N];
int smn[N],tmn,smx[N],tmx;
struct Quest{
int l,r,num;
} q[N];
int h[N],nh;
int ansl[N],ansr[N];
inline bool cmpq(const Quest &x,const Quest &y){return x.r<y.r;}
inline bool cmph(int son,int fa){return q[son].l<q[fa].l;}
int K,nb;
int bel[N],end[N];
int tag[N];
int s[N];
int bz[maxK],hav[maxK][N],lef[maxK][N];
inline bool pushdown(int x){
if (!tag[x])
return 0;
for (int i=end[x-1]+1;i<=end[x];++i)
s[i]+=tag[x];
tag[x]=0;
return 1;
}
inline void rebuild(int x){
bz[x]++;
for (int i=end[x-1]+1;i<=end[x];++i)
if (s[i]<=n && hav[x][s[i]]!=bz[x]){
hav[x][s[i]]=bz[x];
lef[x][s[i]]=i;
}
}
inline void change(int l,int r,int c){
if (bel[l]==bel[r]){
pushdown(bel[l]);
for (int i=l;i<=r;++i)
s[i]+=c;
rebuild(bel[l]);
return;
}
pushdown(bel[l]);
for (int i=l;i<=end[bel[l]];++i)
s[i]+=c;
rebuild(bel[l]);
pushdown(bel[r]);
for (int i=end[bel[r]-1]+1;i<=r;++i)
s[i]+=c;
rebuild(bel[r]);
for (int i=bel[l]+1;i<bel[r];++i)
tag[i]+=c;
}
int main(){
freopen("sequence.in","r",stdin);
freopen("sequence.out","w",stdout);
n=input();
for (int i=1;i<=n;++i)
a[i]=input();
K=sqrt(n);
for (int i=1;i*K<=n;++i){
++nb;
for (int j=(i-1)*K+1;j<=i*K;++j)
bel[j]=nb;
end[nb]=i*K;
}
if (n%K){
++nb;
for (int i=n/K*K+1;i<=n;++i)
bel[i]=nb;
end[nb]=n;
}
for (int i=1;i<=nb;++i)
rebuild(i);
m=input();
for (int i=1;i<=m;++i){
q[i]={input(),input(),i};
if (q[i].l==q[i].r)
ansl[i]=ansr[i]=q[i].l;
}
sort(q+1,q+m+1,cmpq);
smn[tmn=1]=smx[tmx=1]=1;
change(1,1,1);
for (int i=2,j=1;i<=n;++i){
for (;j<=m && q[j].r<=i;++j)
if (q[j].l<q[j].r){
h[nh++]=j;
push_heap(h,h+nh,cmph);
}
while (tmn && a[smn[tmn]]>a[i]){
change(smn[tmn-1]+1,smn[tmn],a[smn[tmn]]-a[i]);
tmn--;
}
smn[++tmn]=i;
while (tmx && a[smx[tmx]]<a[i]){
change(smx[tmx-1]+1,smx[tmx],-a[smx[tmx]]+a[i]);
tmx--;
}
smx[++tmx]=i;
change(i,i,i);
if (!nh)
continue;
int k,mnl=1;
for (k=1;k<=bel[i];++k)
if (hav[k][i-tag[k]]==bz[k]){
mnl=lef[k][i-tag[k]];
break;
}
k=bel[i];
while (nh && q[*h].l>=mnl){
int t=*h;
pop_heap(h,h+nh--,cmph);
for (;k>=1;--k)
if (hav[k][i-tag[k]]==bz[k] && lef[k][i-tag[k]]<=q[t].l)
break;
if (pushdown(k))
rebuild(k);
for (int ii=min(q[t].l,end[k]);ii>end[k-1];--ii)
if (s[ii]==i){
ansl[q[t].num]=ii;
ansr[q[t].num]=i;
break;
}
}
}
for (int i=1;i<=m;++i)
printf("%d %d\n",ansl[i],ansr[i]);
return 0;
}
总结
很多时候有许多隐藏的不等关系，需要细心地寻找。
然后，一定要学会析合树！
