[JZOJ6271] 2019.8.4【NOIP提高组A】锻造

题目

题目大意

武器的每个级别有固定的两种属性\(b_i\)和\(c_i\)
可以用\(a\)的代价得到一把\(0\)级的武器。
可以将\(x\)级武器和\(y=\max(x-1,0)\)级武器融合锻造，
有\(\frac{\min(b_y,c_x)}{c_x}\)的概率可以升级成\(x+1\)级武器。
反之降级成\(y\)级武器。
问得到\(n\)级武器的期望代价（模意义下）。

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思考历程

一开始想了个特别简单的DP。
然后发现有后效性……
搞不出来，然后心态崩了……
看到\(p=0\)的情况（也就是除了\(i=0\)之外，其它时候的\(b_i\)和\(c_i\)都为\(1\)，也就是百分百成功率）。
这样就可以特殊计算\(f_0\)和\(f_1\)，后面的像斐波拉契数列一样转移就可以了。

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正解

正解的DP是没有后效性的。
正解的DP的目光更加长远，我想到的只是转移了一步的，但是正解是转移了很多步的。
状态还是\(f_i\)表示造\(i\)级武器的期望代价。
设成功率为\(x\)，则方程为\(f_i=f_{i-2}+f_{i-1}+(1-x)(f_i-f_{i-2})\)
前面半段是锻造的代价，后面是没有成功时的代价。
由于没有成功的时候还可以有\(i-2\)级的武器留下来，所以就在下一次锻造的时候将它的代价减去。
方程移项之后显然是没有后效性的。

然而这题卡时间。
比如要打\(O(n)\)求逆元，还有各种小常数优化。

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代码

卡常数卡到极尽的代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 10000010
#define mo 998244353
int n,a;
int bx,by,cx,cy,p;
int inv[N],f[N];
int main(){
	freopen("forging.in","r",stdin);
	freopen("forging.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d%d%d%d%d",&n,&a,&bx,&by,&cx,&cy,&p);
	inv[1]=1;
	for (register int i=2,k;i<=p;++i){
		k=mo/i;
		inv[i]=(long long)(mo-k)*inv[mo-i*k]%mo;
	}
	int b=by+1,c=cy+1;
	f[0]=a;
	f[1]=(f[0]+(long long)f[0]*(b>=c?1:(long long)inv[b]*c%mo))%mo;
	for (register int i=2;i<=n;++i){
		c=((long long)c*cx+cy)%p+1;
		f[i]=(f[i-2]+(long long)f[i-1]*(b>=c?1:(long long)inv[b]*c%mo))%mo;
		b=((long long)b*bx+by)%p+1;
	}
	printf("%d\n",f[n]);
	return 0;
}

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总结

做期望DP的时候，目光一定要长远，从而避免后效性。