[JZOJ3400] 【GDOI2014模拟】旅行

题目

题目大意

给你一个图，让你选择权值和最小的边，使得\(1\)和\(n\)，\(2\)和\(n-1\)，……，\(K\)和\(n-K+1\)联通。
\(K\leq 4\)

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思考历程

一看到这题就觉得特别神仙……
然后去思考网络流……
搞出了一个最小割，后来发现这是错的……
匆匆打了个表，获得了这题的十分之一的分数。

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正解

其实这题有水法，许多人是全排列+\(SPFA\)，跑了一遍之后将路过的边清\(0\)，继续跑。这样贪心显然是错的，反例也有，但是极其水的数据居然给了他们\(100\)分！
正解是DP。
题解中有个叫做\(stenir \ tree\)的东西，感觉似乎很强大。当然我不懂，我只会DP。
现在我们是要求出一个最小生成森林，使得一些点对联通。
考虑一棵树。显然，树的叶子节点一定是要求联通的节点（反过来倒不一定）。
于是我们就试着DP……
设\(f_{S,i}\)表示当前这棵树的根节点为\(i\)，并且\(S\)集合中的所有点连在了一起的最小代价
转移的时候就是两棵树的根节点连在一起，也就是\(f_{S',i}+w(i,j)+f_{S-S',j}\to f_{S,i}\)
\(S'\)是\(S\)的子集。（枚举\(S\)和\(S'\)的时间复杂度是\(3^k\)的，\(k\)表示位数，具体实现比较巧妙，见代码）
然后这道题就差不多完了。注意，转移的时候一般是\(S\)从低到高转移，但也会向\(S\)相等的状态转移，这就意味着会有后效性。所以，对于同层的转移，我们特殊地用最短路算法来处理。

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
inline void update(int &a,int b){a>b?a=b:0;}
#define N 10010
#define M 10010
int n,m,K;
struct EDGE{
	int to,len;
	EDGE *las;
} e[M*2];
int ne;
EDGE *last[N];
inline void link(int u,int v,int len){
	e[ne]={v,len,last[u]};
	last[u]=e+ne++;
}
int f[256][N],*dis;
struct Node{
	int x,dis;
} h[1000001];
int nh;
inline bool cmph(const Node &son,const Node &fa){
	return son.dis>fa.dis;
}
int mn[256],ans[256];
inline bool ok(int s){
	for (int i=0;i<K;++i)
		if ((s>>i&1)^(s>>i+K&1))
			return 0;
	return 1;
}
int main(){
	freopen("in.txt","r",stdin); 
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
	for (int i=1;i<=m;++i){
		int u,v,len;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&len);
		link(u,v,len),link(v,u,len);
	}
	memset(f,63,sizeof f);
	for (int i=1;i<=K;++i)
		f[1<<i-1][i]=f[1<<K+i-1][n-i+1]=0;
	for (int i=K+1;i<=n-K;++i)
		f[0][i]=0;
	for (int s=1;s<1<<K*2;++s){
		for (int i=1;i<=n;++i)
			for (int s1=(s-1)&s;s1;s1=(s1-1)&s) 
				if (f[s1][i]<0x3f3f3f3f)
					for (EDGE *ei=last[i];ei;ei=ei->las)
						update(f[s][i],f[s1][i]+ei->len+f[s-s1][ei->to]);
		dis=f[s];
		nh=0;
		for (int i=1;i<=n;++i)
			h[nh++]={i,dis[i]};
		while (nh){
			int x=h[0].x,disx=h[0].dis;
			pop_heap(h,h+nh--,cmph);
			if (disx>dis[x])
				continue;
			for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
				if (disx+ei->len<dis[ei->to]){
					dis[ei->to]=disx+ei->len;
					h[nh++]={ei->to,dis[ei->to]};
					push_heap(h,h+nh,cmph);
				}
		}
		mn[s]=INT_MAX;
		for (int i=1;i<=n;++i)
			update(mn[s],dis[i]);
	}
	memset(ans,63,sizeof ans);
	ans[0]=0;
	for (int s=1;s<1<<K*2;++s)
		for (int s1=s;s1;s1=(s1-1)&s)
			if (ok(s-s1) && ok(s1))
				update(ans[s],ans[s-s1]+mn[s1]);
	if (ans[(1<<K*2)-1]<0x3f3f3f3f)
		printf("%d\n",ans[(1<<K*2)-1]);
	else
		printf("-1\n");
	return 0;
}

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总结

不是什么题都能用网络流做的……
DP也能玩出各种花样……