[JZOJ3235] 数字八

题目

题目大意

给你一个二维的图，其中.代表完好，*代表有缺陷。
现在要在图上刻一个数字\(8\)，满足：

• 由两个矩形组成。
• 每个矩形中必须有空隙在内部，也就是说，至少为\(3*3\)的矩形。
• 上矩形的下面那条边和下矩形上面的那条边所在的直线重合，并且上面是下面的子集。
• 必须雕刻在完好的部分。
• 得分为上矩形和下矩形所围出的空隙面积的乘积。

求最大得分。

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思考历程

见到这种题，首先当然是从暴力想起啦~
首先想到的是\(O(n^7)\)的暴力……这就不用说了吧……
然后我开始想，枚举行\(i\)和列\([l,r]\)，以它为中间的那条边，向下和向上延伸最多多少。
设\(up_{i,l,r}\)表示\(i\)行\([l,r]\)区间最多向上延伸到多少。如果能延伸（设值为\(y\)），必须要满足\([y,i]\)行的\(l\)和\(r\)位置都是完好的，而且\(y\leq i-2\)
还有设\(dn_{i,l,r}\)，定义类似（向下）。
于是题目变成了\(O(n^5)\)……
由于上面的是下面的子集，所以我们可以试着存下它所有子集的最大值。
设\(f_{i,l,r}\)表示在\(i\)行，区间为\([l,r]\)的子集，所围成的矩形的最大面积。
显然\(f_{i,l,r}\)可以转移到\(f_{i,l-1,r}\)和\(f_{i,l,r+1}\)
（然后你就会发现\(i\)的这一维是可以省去的。）
于是题目就变成了\(O(n^3)\)

然而这题卡空间很严重……
所以我不得不用了short

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 310
#define INF 10000
inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
int n;
char st[N][N];
short cf[N][N];
#define clean(i,l,r) (cf[i][r]-cf[i][l-1]==0)
#define bro(i,l,r) (st[i][l]=='.' && st[i][r]=='.')
short up[N][N][N],dn[N][N][N];
int f[N][N];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%s",st[i]+1);
		for (int j=1;j<=n;++j)
			cf[i][j]=cf[i][j-1]+(st[i][j]=='*');
	}
	for (int l=1;l<=n;++l)
		for (int r=l+2;r<=n;++r){
			up[1][l][r]=INF;
			up[2][l][r]=INF;
			for (int i=3;i<=n;++i){
				if (!bro(i,l,r) || !bro(i-1,l,r) || !bro(i-2,l,r)){
					up[i][l][r]=INF;
					continue;	
				}
				if (up[i-1][l][r]!=INF)
					up[i][l][r]=up[i-1][l][r];
				else if (clean(i-2,l,r))
					up[i][l][r]=i-2;
				else
					up[i][l][r]=INF;
			}
		}
	for (int l=1;l<=n;++l)
		for (int r=l+2;r<=n;++r){
			dn[n][l][r]=-INF;
			dn[n-1][l][r]=-INF;
			for (int i=n-2;i>=1;--i){
				if (!bro(i,l,r) || !bro(i+1,l,r) || !bro(i+2,l,r)){
					dn[i][l][r]=-INF;
					continue;
				}
				if (dn[i+1][l][r]!=-INF)
					dn[i][l][r]=dn[i+1][l][r];
				else if (clean(i+2,l,r))
					dn[i][l][r]=i+2;
				else
					dn[i][l][r]=-INF;
			}
		}
	int ans=-1;
	for (int i=3;i<=n;++i){
		for (int l=1;l+3-1<=n;++l){
			int r=l+3-1;
			if (clean(i,l,r) && up[i][l][r]!=-INF)
				f[l][r]=i-up[i][l][r]-1;
			else
				f[l][r]=0;
		}
		for (int len=4;len<=n;++len)
			for (int l=1;l+len-1<=n;++l){
				int r=l+len-1;
				f[l][r]=(clean(i,l,r) && up[i][l][r]!=-INF?int(i-up[i][l][r]-1)*(len-2):0);
				f[l][r]=max(f[l][r],max(f[l+1][r],f[l][r-1]));
			}
		for (int l=1;l<=n;++l)
			for (int r=l+2;r<=n;++r)
				if (clean(i,l,r) && dn[i][l][r]!=-INF)
					ans=max(ans,f[l][r]*(dn[i][l][r]-i-1)*(r-l-1));
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

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总结

见到这种题……DP就好啦……