[JZOJ2679] 跨时代

题目

题目大意

给你一堆边，你要将它们围成面积最大的矩形。
边不一定要用完，而且围成的矩形不能凸出一块。
\(n\leq 16\)
\(l_i \leq 15\)

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思考历程

看到这题的第一眼，就会立马往DP方面去想。
我一开始的想法是求出每种选择的状态可以得到的长度，
然后就可以得出哪些状态可以得到两条长度一样的边。
接下来就开始匹配，找不相交的集合，如果两个都满足条件就统计入答案。
但是我又想，上面的最后一个操作会不会使时间崩掉？
于是我又想了几十分钟，迫不得已去打第三题和第二题了……
打完后回来，仔细想想，发现可以折半搜索！
把\(n\)条边拆成两组，每一条边有\(5\)种选择，分别为不选和加入\(a,b,c,d\)四条边。
用\(5^8\)的时间枚举左边，然后钦定\(a\leq c\)且\(b\leq d\)（如果不满足条件就踢掉，不用交换，因为交换后的情况是能够枚举到的）。我们以\((c-a,d-b)\)作为关键字存在某个表中（用hash或map或数组，怎样都可以）。
之所以存下它们的差，是因为在差相同的情况下，可以互补成完整的矩形。
对于每个出现过的关键字，都给它分配一个数组，存下\((a,b)\)
然后就是枚举右边的情况，搞完之后以同样的方式在表中找，如果关键字出现过，就在分配给它的数组中枚举，将\((a_i+c')(b_i+d')\)统计入答案中。
显然，最花时间的地方就是在数组中枚举，如果这个数组开得很大，有可能会拖慢速度。
我试了一个\(16\)个\(8\)的数据，就成功卡掉了。
于是我便想到，数组中的重复元素其实是很多的。所以我将vector换成了set，那个数据就跑得贼快了。
去掉了重复，我也不知道数据还有什么办法卡我，因为每个数组都不会特别大（根据数据范围感性地估计一下~）
于是我就交了上去。果然AC，而且还跑得比较快。
后来我又思考，万一数据真的卡我，该怎么办。于是我想到，同一个数组中若有\(a_i\leq a_j\)且\(b_i \leq b_j\)，显然\((a_i,b_i)\)是可以不要的。那么在左边的枚举做完之后，我们将每个数组里的元素排序一遍，把其中这些没有意义的元素删去。于是我们就可以得到一个\(a_i\)递增，\(b_i\)递减的一个东西。显然我们要让\(a_id'+b_ic'\)最大，就可以在数组上二分（或三分？）来做。反正时间复杂度是绝对可以保证的。

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正解

其实这道题的方法有很多很多……折半搜索只是冰山一角。
事实上我一开始想的、但却没有打的方法是对的。
有的人直接搜索就过了，有的人背包、状压……
所以就不一一说明了……
于是“正解”这一栏有什么意义？

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
int n,m;
int len[17];
#define mo 1000007
struct Node{
	int key,num;	
} h[mo];
inline int my_hash(int ia1,int ia2){
	int key=ia1*997+ia2+mo,i=key%mo;
	for (;h[i].key!=key && h[i].key;i=(i+1==mo?0:i+1));
	return i;
}
int cnt;
set<pair<int,int> > arr[15000];
void dfs1(int k,int a,int b,int c,int d){
	if (k>m){
		if (a>b || c>d)
			return;
		int w=my_hash(b-a,d-c);
		if (!h[w].num)
			h[w].num=++cnt;
		arr[h[w].num].insert(make_pair(a,c));
		return;
	}
	dfs1(k+1,a,b,c,d);
	dfs1(k+1,a+len[k],b,c,d);
	dfs1(k+1,a,b+len[k],c,d);
	dfs1(k+1,a,b,c+len[k],d);
	dfs1(k+1,a,b,c,d+len[k]);
}
int ans=0;
void dfs2(int k,int a,int b,int c,int d){
	if (k>n){
		if (a>b || c>d)
			return;
		int w=my_hash(b-a,d-c);
		if (h[w].num){
			for (set<pair<int,int> >::iterator p=arr[h[w].num].begin();p!=arr[h[w].num].end();++p)
				ans=max(ans,(b+p->first)*(d+p->second));
		}
		return;
	}
	dfs2(k+1,a,b,c,d);
	dfs2(k+1,a+len[k],b,c,d);
	dfs2(k+1,a,b+len[k],c,d);
	dfs2(k+1,a,b,c+len[k],d);
	dfs2(k+1,a,b,c,d+len[k]);
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&len[i]);
	m=n>>1;
	dfs1(1,0,0,0,0);
	dfs2(m+1,0,0,0,0);
	if (ans)
		printf("%d\n",ans);
	else
		printf("No Solution\n");
	return 0;
}

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总结

做题的时候不要怂，有时暴力的方法照样能过！