A*算法——第K短路
例题
题目描述
Bessie 来到一个小农场，有时她想回老家看看她的一位好友。她不想太早地回到老家，因为她喜欢途中的美丽风景。她决定选择K短路径，而不是最短路径。
农村有 R (1≤R≤100,000) 条单向的路，每条路连接 N (1≤N≤10000) 个结点中的两个。结点的编号是 1..N。Bessie 从结点 1出发，她的朋友（目的地）在结点 N。
同一个点可以多次经过。K短路的定义：假设从1出发，有M条长度不同的路径可以到达点N，则K短路就是这M条路径中第K小的路径长度。
输入格式
Line 1: 三个用空格分隔的整数 N，R，K（（1≤n≤10000,1≤R≤100000,1≤K≤10000）
Lines 2..R+1: 每行包含三个用空格分隔的整数x,y,len（1≤x,y≤n,1≤len≤10000），表示x到y有一条长度为len的单向道路。
输出格式
输出包括一行，一个整数，第K短路的长度。
样例输入
4 4 2
1 2 100
2 4 200
2 3 250
3 4 100
样例输出
450
做法
考虑用A*算法。
我们知道A*算法有个性质：
设h(i)表示从i到终点的估计距离，设h*(i)表示i到终点的实际距离
1、当h(i) < h*(i)时，程序慢，但是保证找到最优解
2、当h(i) = h*(i)时，程序快，并且保证找到最优解
3、当h(i) > h*(i)时，程序快，但是不保证找到最优解
所以，若有元素t在堆顶弹出，若其为终点，且是第K次出堆，则答案为它走过的距离(t.g)
所以，首先我们预处理出h(i)。怎么求？我们可以考虑以上第二种方案。
因为我们可以先将所有的边的方向反过来，以N为起点，求出每一个点到N的最短路径。
最短路径都会吧？跑一遍SPFA（dijsktra没试过）。
h(i)为i到N的最短路径。
接下来开始A*！开一个堆，每次取出f（1到N估计总距离，f(i)=g(i)+h(i)）最小的，然后往与它相连的点拓展。弹出后可以再进堆。若弹出的点为终点且是第K次出堆，则输出答案。
有一种坑了我很久的情况：当两条路径一样时，就当做一条看，加特判就行了。
但是不要乱加特判，要看题目，知道它要我们求什么。
代码实现（C++）
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,r,k;//如题
struct Edge
{
int x,y,len;
Edge* las;//记录上一个和此次的x一样的边
} e1[100001],e2[100001];//e1是正向的，e2是反向的（前向星）
Edge *last1[10001],*last2[10001];//last[i]表示x为i的最后一条边
int h[10001];//见“做法”
const int SIZE=1000000;
int que[SIZE];
bool in_que[10001];
inline void spfa(int);
struct Node
{
int n,g,f; //n：在第n个点；g：已走g的路径；f：估计距离
} heap[SIZE];//堆
bool cmp(const Node& a,const Node& b)//比较函数
{
return a.f>b.f;
}
inline void A_star(int,int);
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&r,&k);
int i,j=0,x,y,len;
for (i=1;i<=r;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&len);
while(getchar()!='\n');//这句话是因为数据有问题才加上去的，不用管
j++;
e1[j]={x,y,len,last1[x]};//新增一条边
last1[x]=e1+j;
e2[j]={y,x,len,last2[y]};
last2[y]=e2+j;
}
spfa(n);
A_star(1,n);
}
inline void spfa(int u)
{
memset(h,127,sizeof h);
h[u]=0;
int head=0,tail=1;
Edge* to;
que[1]=u;
in_que[u]=1;
do
{
if (++head==SIZE)
head=0;
for (to=last2[que[head]];to;to=to->las)
{
if (h[to->x]+to->len>=h[to->y])
continue;
h[to->y]=h[to->x]+to->len;
if (in_que[to->y])
continue;
if (++tail==SIZE)
tail=0;
que[tail]=to->y;
in_que[to->y]=1;
}
in_que[que[head]]=0;
}
while (head!=tail);
}
inline void A_star(int u,int v)
{
int nh=1,cnt=0,ans;
Edge* to;
*heap={u,0,h[u]};
while (nh)
{
if (heap->n==v && heap->g!=ans)//特判相等的情况
{
ans=heap->g;
if (++cnt==k)
{
printf("%d\n",heap->g);
return;
}
}
for (to=last1[heap->n];to;to=to->las)
{
heap[nh].n=to->y;
heap[nh].g=heap->g+to->len;
heap[nh].f=heap[nh].g+h[to->y];
nh++;
push_heap(heap,heap+nh,cmp);//加入堆
}
pop_heap(heap,heap+nh,cmp);
nh--;//弹出堆
}
}