后缀数组（SA）及height数组

最近感觉自己越来越蒟蒻了……后缀数组不会，费用流不会……
看着别人切一道又一道的题，我真是很无奈啊……
然后，我花了好长时间，终于弄懂了后缀数组。

后缀数组是什么？

后缀$SA$数组

给你一个字符串，让你将每个后缀排序，就是一个后缀数组。
比如，字符串为ababa，就会搞出一个这样的东西：

a
aba
ababa
ba
baba
SA={4,2,0,3,1};

其中，每个后缀用开始的位置来表示。

$rank$数组

相当于逆着的$SA$，$rank[sa[i]]=i$
#后缀数组怎么求？

方法一：$O(N^3)$暴力

打个选择排序，每次比较用$O(N)$的方法。
当然，这样的暴力出不了奇迹。

方法二：$O(N^2\lg N)$快排

仅仅是将选择排序变成快排罢了。
##方法三：倍增

倍增1.0

这就是本文的重点了！！！
想想其它的倍增是怎么做的，再想想字符串怎么倍增。
首先，给每个字符赋一个排名，像这样：

'a'->1
'b'->2

现在rank={1,2,1,2,1}
然后像下面的这幅图一样搞一搞。

倍增算法的精髓就在这幅图中。
枚举一个$i$，对于每个位置$j$，每次将$j$和$j+2^i$合并到一起（不够补0），然后排名（可以当做是离散化）。
这样就可以求出$rank$，然后求出$SA$。
具体没什么好讲的，只要看懂这幅图，就懂了倍增算法的思想。
这样就可以优化到$O(N\lg^2N)$了。

倍增2.0

然而，这不是倍增的极限。
可以用基数排序进一步地优化！！！
什么是基数排序，基数排序怎么打，请百度一下（基数排序可以用一维的数组来打，具体看代码实践）。
在此，我有意提醒的是，你可以将数看做一个m进制，在倍增合并两个数时，可以将其看做m进制的两位数，然后对它进行基数排序。
这样就有$O(N\lg N)$的时间复杂度了。
具体见代码。

DC3算法

笔者暂时不会……

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后缀数组怎么打？

后缀数组其实是比较好理解的，但是，为了追求完美，我们不应光靠自己的理解打模板。
因为自己打的有时会非常丑陋……
看了，理解的网上的标，综合我自己的风格，就打出了个这样的标：

int y[2000003],ws[2000003],wv[2000003];
void getSA(char s[],int rank[],int sa[],int n,int m)
{
	memset(ws,0,sizeof(int)*m);
	memset(y,255,sizeof y);
	memset(rank,255,sizeof rank);
	for (int i=0;i<n;++i)
		++ws[rank[i]=s[i]];
	for (int i=1;i<m;++i)
		ws[i]+=ws[i-1];
	for (int i=n-1;i>=0;--i)
		sa[--ws[rank[i]]]=i;
	for (int i=1;p<n;i<<=1,m=p)
	{
		p=0;
		for (int j=n-i;j<n;++j)
			y[p++]=j;
		for (int j=0;j<n;++j)
			if (sa[j]>=i)
				y[p++]=sa[j]-i;
		for (int j=0;j<n;++j)
			wv[j]=rank[y[j]];
		memset(ws,0,sizeof(int)*m);
		for (int j=0;j<n;++j)
			++ws[wv[j]];
		for (int j=1;j<m;++j)
			ws[j]+=ws[j-1];
		for (int j=n-1;j>=0;--j)
			sa[--ws[wv[j]]]=y[j];
		swap(rank,y);
		p=1;
		rank[sa[0]]=0;
		for (int j=1;j<n;++j)
			rank[sa[j]]=(y[sa[j-1]]==y[sa[j]] && y[sa[j-1]+i]==y[sa[j]+i]?p-1:p++);
	}

这就是网上通常的打法，当然，风格会有些不一样……
是不是看了后，一头雾水？
别急，慢慢解释。
首先说一下，在这个程序中，$rank$取值是在$[0,n)$范围内的，和上面那张图不一样！

	memset(ws,0,sizeof(int)*m);
	memset(y,255,sizeof y);
	memset(rank,255,sizeof rank);
	for (int i=0;i<n;++i)
		++ws[rank[i]=s[i]];
	for (int i=1;i<m;++i)
		ws[i]+=ws[i-1];
	for (int i=n-1;i>=0;--i)
		sa[--ws[rank[i]]]=i;

前面三行赋初值。
这是处理最开始的$rank$和$sa$，也就是还没有合并时。
$ws$数组是一个桶，用于辅助基数排序。
注意第三行rank[i]=s[i]。我们在实践的时候一开始不需要将真正的排名弄出来，我们只需知道它们的相对大小。而$s_i$作为单个字符，是可以表示它们的相对大小的。
其它就没什么了，要理解好一维的基数排序！

for (int i=1,p=1;p<n;i<<=1,m=p)

$i$表示的是对于一个位置$j$，在这一轮中要用$j$和$j+i$合并。
$p$表示不同的字符串的个数，初值设为$1$是为了循环条件$p<n$，显然$1\geq n$时就没必要做了。
为什么循环条件是$p<n$呢？因为我们发现，最后的$rank$数组一定是一个范围在$[0,n)$的排列。
所以$p$顶多为$n$，想想，当$p=n$时，那么其实已经排好序了，没必要再做下去，比如，可以看看上面那张图，可以发现最后一轮是没有必要的。
$m$表示的也是不同字符串的个数，只是因为在下面$p$要被用作计数器罢了。

		p=0;
		for (int j=n-i;j<n;++j)
			y[p++]=j;
		for (int j=0;j<n;++j)
			if (sa[j]>=i)
				y[p++]=sa[j]-i;

当初我看得最久的是这一段……
这其实是一个小优化。
$y$是一个临时的$rank$数组。
在合并后，其实第二关键字可以通过上一次的$sa$数组求出。
先看看二、三行。显然，$[n-i,n)$这段区间内，如果要和后面的合并，只能补$0$，应该说是补$-1$，因为$rank$数组在这个程序中的取值是$[0,n)$。
$-1$一定是最小的，所以先把它们排在前面。
然后看倒数三行，这个就比较难理解了。
对于位置$j$，在这一轮中会对$j-i$有影响，所以说，$j-i \geq 0$
因为$sa$是有序的，所以我们顺序枚举$sa_j$，将其中满足以上条件的加入$y$中。

		for (int j=0;j<n;++j)
			wv[j]=rank[y[j]];
		memset(ws,0,sizeof(int)*m);
		for (int j=0;j<n;++j)
			++ws[wv[j]];
		for (int j=1;j<m;++j)
			ws[j]+=ws[j-1];
		for (int j=n-1;j>=0;--j)
			sa[--ws[wv[j]]]=y[j];

这一段的作用就是以第一关键字来进行一次基数排序，和上面的那个一样的道理。

		swap(rank,y);
		p=1;
		rank[sa[0]]=0;
		for (int j=1;j<n;++j)
			rank[sa[j]]=(y[sa[j-1]]==y[sa[j]] && y[sa[j-1]+i]==y[sa[j]+i]?p-1:p++);

$p$起到计数器的作用。
重点是最后一行y[sa[j-1]]==y[sa[j]] && y[sa[j-1]+i]==y[sa[j]+i]
这是在比较$sa_{j-1}$和$sa_j$是否相等。如果相等，那么$rank$值应该要一样（不过注意，到最后时$rank$值一定是不同的！）
网上的标这样比较，就不怕爆掉吗？对此，我很不理解，只是开了两倍的数组来解决这个问题。

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关于LCP

一些概念

$LCP(i,j)$表示$suffix(i)$和$suffix(j)$的公共最长前缀。
$height(i)=LCP(SA[i-1],SA[i])$
很明显，若$rank_i<rank_j$，则
$LCP(i,j)=\min_{k\in \left(rank_i,rank_j \right]}{height_k}$

如何求$height$?

首先，我们要知道一个性质：
设$h_i=height_{rank_i}$，也就是$suffix(i)$与它前一名的最长公共前缀。
那么$h_i\geq h_{i-1}-1$
证明：
设$suffix(k)$表示$suffix(i-1)$前一名的后缀，$h_{i-1}$即是它们的最长公共前缀。
当$h_{i-1} \leq 1$时，显然等式成立。
当$h_{i-1} >1$时，可以发现$suffix(k+1)$和$suffix(i)$的公共后缀至少为$h_{i-1}-1$。可以画张图理解一下。
所以，综上，$h_i\geq h_{i-1}-1$
利用这个性质，我们可以在$O(N)$的时间内求出$height$数组

代码

void getheight(char s[],int rank[],int sa[],int height[])
{
	for (int i=0,k=0;i<n;++i)
		if (rank[i])
		{
			if (k)
				--k;
			int j=sa[rank[i]-1];
			while (s[i+k]==s[j+k])
				++k;
			height[rank[i]]=k;
		}
}

其实不必真正地构出个$h$数组。

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其它

建议数组从$1$开始，或者将$rank$及辅助数组$y$初值设为$-1$，因为在比较时，后面的要补$0$（或$-1$），我就因为这样调了很久……（被罗穗骞大佬的论文坑了）