JZOJ5894【NOIP2018模拟10.5】同余方程

题目

Description

Input

Output

Sample Input

123 1234 234 2345 5

Sample Output

470244

Data Constraint

题目大意

求满足$(x \bigoplus y) \mod m=0$的$x,y$个数，其中$x \in (l_1,r_1)\ \ y \in (l_2,r_2)$

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思考历程

一眼望去，毫无头绪……
异或会和取模有什么关系？
想半天，拿了30分暴力，便弃之。

正解

没错，异或和取模的确没有什么关系。
所以不要认为是什么奇葩数论题。

正确的思路是将其分成许多段连续的区间，然后直接计算贡献。
那么怎么划分？
首先，我们可以将$l$先当成$1$。因为只要求出这个情况的答案，那么就可以通过二维前缀和的方式算出整一题的答案。
对于上界$x$和$y$，分别枚举它们为$1$的位数（作为第一个小于上界的位）。
设这两个位数分别为$i$和$j$。
如果比$i$高的位不变，将$i$设为$0$，那么比$i$低的位无论如何取值，都不可能超过上限。
设$mx=\max(i,j) \ \ mn=\min(i,j)$
我们可以将两者异或起来的结果分为三段。
首先是最高位到$mx$位，这些位的异或结果是固定的。
然后$mx$到$mn$位，在这里的异或结果可以是任意的，并且每一个异或结果对应着唯一的一种方案。
最后是$mn$到最低位，这里的异或结果也是任意的，并且每一个异或结果对应着$2^{mn}$种方案。
异或的结果的取值范围为$[t,t+2^{mx})$，t为前面已经确定的异或结果。
这样就可以直接通过除法算出这段区间的贡献了。
即
$\left(\lfloor \frac{t+2^{mx}-1}{m} \rfloor-\lfloor \frac{t-1}{m} \rfloor\right)2^{mn}$
还有，求$t$的时候有一点需要注意：
$t$已经确定的部分是$mx$及之前的部分，而对于$mx$为要特殊处理一下。
如果$i=j$，那么$mx$位中两者都是$1$，异或起来为$0$，相当于$0 \bigoplus 0$，不理它。
如果$i \neq j$，由于$mx$位需要修改成$0$，所以需要将$mx$为取个反。
详见一下代码。

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define mod 998244353
long long l1,r1,l2,r2,m;
long long ans(long long,long long);
int main(){
	freopen("mod.in","r",stdin);
	freopen("mod.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&l1,&r1,&l2,&r2,&m);
	printf("%lld\n",(ans(r1,r2)-ans(l1-1,r2)-ans(r1,l2-1)+ans(l1-1,l2-1)+mod+mod)%mod);
	return 0;
}
long long ans(long long x,long long y){
	x++,y++;
	long long res=0; 
	for (int i=59;i>=0;--i)
		if (x>>i&1)
			for (int j=59;j>=0;--j)
				if (y>>j&1){
					int mx=max(i,j),mn=i+j-mx;
					long long cur=(x^y^((i==j)?0:1ll<<mx))>>mx<<mx;//具体解释见上，还有后面的右移左移是为了将后面的东西清除掉
					if (cur==0)
						res=(res+(((1ll<<mx)-1)/m+1)%mod*((1ll<<mn)%mod)%mod)%mod;//当cur=0时，(cur-1)为负数，所以(cur-1)/m会上取整……所以直接特判
					else
						res=(res+(((cur+(1ll<<mx)-1)/m-(cur-1)/m)%mod+mod)%mod*((1ll<<mn)%mod)%mod)%mod;
				}
	return res;
}