数位DP入门题——[hdu2089]不要62

数位DP是我的噩梦。
现在初三了，却没AC过数位DP的题目。
感觉数位DP都是毒瘤……

题目

hdu不用登录也可以进去，所以就不把题目copy到这里来了。

题目大意

求区间$[n,m]$中，不含有$4$和$62$的数的个数。

---

解析

数位DP的难点主要在于不能出界。
因为这个东西，我被卡了不知道多少年……
先不要想出界，那么显然，状态可以这么设：
设$f_{i,j}$表示做到第$i$位，并且这一位为$j$的方案数。
方程显然

	if (j!=4 && !(j==6 && k==2))
		f[i][j]+=f[i-1][k];

所以我们可以先预处理出$f$数组。
对于区间$[n,m]$，类似前缀和，我们可以将其转化成求$[1,x]$。
接下来就是最毒瘤的出界问题了。
比如$x=314$
那么$f_{2,0},f_{2,1},f_{2,2}$可以计入贡献，因为前面的数字不管怎么变，都必定不会出界。
但是$f_{2,3}$是不可以直接计入贡献的。
所以咋办？
我们可以继续下一位，计算$x=14$时的贡献，当然，要记录一下上一次最后的数，在计入贡献前要先判断是否合法。
因为我们计算的都是小于$x$的贡献，所以在计算之前我们要先将$x$加一
具体见下面的代码。

---

代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define MAXM 1000000
int n,m;
int f[10][10];
int pow10[10];
void init();
int getans(int);
int main(){
	pow10[0]=1;
	for (int i=1;i<=9;++i)
		pow10[i]=pow10[i-1]*10;
	init();
	do{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if (n==0 && m==0)
			return 0;
		printf("%d\n",getans(m)-getans(n-1));
	}
	while (1);
	return 0;
}
void init(){
	for (int i=0;i<=9;++i)
		f[0][i]=(i!=4);//i!=4时就为1
	for (int i=1;i<=6;++i)
		for (int j=0;j<=9;++j){
			if (j==4)
				continue;
			for (int k=0;k<=9;++k)
				f[i][j]+=f[i-1][k];
			if (j==6)
				f[i][j]-=f[i-1][2];//将j==6和k==2不合法的贡献减掉
		}
}
int getans(int x){
	x++;//因为下面的算法计算的是小于x的贡献，所以要先x++
	if (x<0)
		return 0;
	int res=0,w=log10(x);//w为x的位数
	for (int i=w,lst=0;i>=0;--i){
		int s=x/pow10[i]%10;//求出第i为的贡献
		for (int j=0;j<s;++j)
			res+=f[i][j];//将小于s的贡献全部加上（因为前面的数怎么变都不可能越界）
		if (lst==6 && 2<s)
			res-=f[i][2];//同样将不合法的贡献减去
		if (s==4 || lst==6 && s==2)//如果这个时候出现不合法的情况，那么后面的都是不合法的，直接退出
			break;
		lst=s;
	}
	return res;
}

–

总结

数位DP最难的地方就是判断出界。
所以我们应该从高位到低位逐个判断。
保证范围小于边界。