NOIP2018提高组初赛选讲

说实话，这次的初赛比上一次的要简单。
不过还有些变态的题目。

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7. 在一条长度为1 的线段上随机取两个点，则以这两个点为端点的线段的期望
   长度是（ ）。
   A. 1 / 2
   B. 1 / 3
   C. 2 / 3
   D. 3 / 5

赛场做法

这题，一眼看下去，我就有点懵了。
后来，又想想有关期望的性质，然后……
画出一条线段，平均分成几份，将所有情况求出来，然后算出期望值。
算了两次，第一次分4份，第二次分6分。
结果都是$\frac{1}{3}$

证明

我在网上翻到一篇有关这个的证明的博客，结果，那博客秀了强大的微积分……
后来，同学告诉我一个比较好理解的证法：
考虑归纳证明
假设现在有一条线段，长度为$l$。
利用分治的思想，在中间取个中点，设为$M$。它将线段等分成两段。
设最终得到的线段的端点分别为$X$，$Y$。
根据它们的位置，大体上有两种情况：

1. $X$和$Y$在$M$异侧，则$\overline{XY}=\overline{XM}+\overline{YM}$。显然，在期望情况下，两者皆为$\frac{x}{4}$，所以，$\overline{XY}=\frac{x}{2}$。
2. $X$和$Y$在$M$同侧，则$\overline{XY}=\frac{x}{6}$

$\therefore\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{6}}{2}=\frac{x}{3}$
得证。

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9. 假设一台抽奖机中有红、蓝两色的球，任意时刻按下抽奖按钮，都会等概率
   获得红球或蓝球之一。有足够多的人每人都用这台抽奖机抽奖，假如他们的
   策略均为：抽中蓝球则继续抽球，抽中红球则停止。最后每个人都把自己获
   得的所有球放到一个大箱子里，最终大箱子里的红球与蓝球的比例接近于
   （ ）。
   A. 1 : 2
   B. 2 : 1
   C. 1 : 3
   D. 1 : 1

赛场做法&证明

其实这个比较简单。
设蓝球期望为$x$，则$x=\frac{1+x}{2}$。
解得$x=1$

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方程 a*b = (a or b) * (a and b)，在 a,b 都取 [0, 31] 中的整数时，
共有_____组解。（*表示乘法；or 表示按位或运算；and 表示按位与运算）

赛场做法

第一眼看下去，就觉得这一定是一道神仙题。
果然，还真TM是神仙题。
我先考虑了一个情况：
如果$a\ and\ b$和$a\ or \ b$中，这两个数由$a$和$b$组成。
那么很显然的是，一定有其中一个是另外一个的子集。
然后乱搞一波，减去重复的，得出$454$。

然后我还觉得有其它的情况，结果想了半天，没有想出来，最后就交了这个答案……
于是莫名切了。

证明

设$x=a\ xor\ b$
$a\ and\ b=\frac{a+b-x}{2}$
$a\ or\ b=\frac{a+b+x}{2}$
$\therefore \left(a\ and\ b\right)*\left(a\ or\ b\right)=\frac{\left(a+b\right)^2-x^2}{4}$
$\therefore a*b=\frac{\left(a+b\right)^2-x^2}{4}$
$\therefore \left(a-b\right)^2=x^2$
得证。

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然后就没有什么别的特别难的题目了。
总结一下：

1. 期望题分治看看。
2. 位运算有很多规律，有时候异或很有用。