JZOJ100048 【NOIP2017提高A组模拟7.14】紧急撤离
题目
题目大意
给你一个01矩阵，每次询问从一个点是否可以走到另一个点。
每次走只能往右或者往下。
思考历程
这题啊，我想的时候真的是脑洞大开……
首先，我一眼看下去，既然要询问是否联通，那么能不能求出它们的最短路，看看是不是它们的曼哈顿距离？
看到数据范围之后这个想法彻底凉凉……
然后就开始考虑一些正经的方法……
首先，考虑如何扫描线……类似扫描线的，扫一扫，维护一下，说不定就可以了呢？
然后，我发现无论如何，我都难以逃脱，就算是使用bitset也不行。
这样不行啊，我就考虑分治？
如何分治？
每次在中间的这一条线上开始，向两边进行转移。转移什么？转移每个点到这条线上连通的状态……
用bitset可以优化一下。
但是又感觉，这个方法好像过不去，所以，我又继续向其他的做法。
然后就想到了分块！
如何分块呢？设块的行数为，那么我们在每个块的边界那里，搞一搞类似上面的转移。
然后我们在所有的边界之间，求出它们的连通性。
推了一波复杂度，好想很优秀！
好开心好开心……
然后打了几行，突然发现：时间复杂度好像算错了！
非常不爽，又算了一遍。发现还是算错了，再算一遍……
什么，这么慢，连分治都不如？
又看看时间，似乎不多了……
我绝望地打了个暴力，用bitset随便优化了一下……
正解
其实正解在比赛时已经想到了。
只不过觉得过不了……
这题的正解就是分治，和上面说的一模一样！
非常不爽……
这次说详细一些：
按行或列分治（其实应该按列分治，具体原因……），下面一行为准。
我们将矩阵分成上下两个部分。
对于上面，我们设表示点到中间的这一行上每个点的状态。
对于下面，我们设表示中间这一行上的每个点到的状态。
其实两个是相反的，具体怎么转移显然。
那么对于询问的两个点，如果它们之间的路径上会经过这一行，那就枚举经过行上的哪一个点，计算一下是否联通就好了。至于没有经过的，直接递归分治下去。
然后分析一下时间复杂度。
首先我们知道，很显然的，分治只有层。
对于每一层，我们需要处理次，因为我们考虑同一列上的点，它们转移所耗费的时间为，即为整个平面。由于每一行有个东西，所以就是次。
综上，转移的总时间是。
然后就是处理询问的时间。
我们首先将询问全部列在一起，然后在处理的时候，将左边的区间放左边，将右边的区间放右边，穿过中间行的区间直接处理。时间复杂度可以这么理解：对于每一个询问，它相当于在这棵分治所形成的的二叉树上面往下走，那么每个的时间为。然后我们一共有个询问，所以时间复杂度为。还有每次处理一个询问都需要的时间
为什么时间复杂度好像和题解不一样，难道是我分析错了？还是太小以至于题解不屑于注意？
综上所述，时间复杂度是。
这个时间复杂度似乎过不去，然而，由于有bitset优化，会快很多。
这题的正解就是这么简单……
数据上的问题
我要吐槽一下，这题的数据太可恶了！
我打出来之后，发现自己TLE！怎么可能？
然后，就是疯狂的卡常数历程……最终以990+的好时间卡了过去。
我不禁深思，为什么我的程序这么慢？我是不是该重修卡常技能？
看看别人的程序，似乎没有什么特别的地方啊！
在我绝望之际，忽然，我发现了惊天的秘密！
为什么他们是按列分治的？我翻遍所有的程序，发现AC的都是按列分治的。有一个按行分治的人过了，但开了O2。
按理来说，按列分治和按行分治的时间复杂度是一样的。因为它们本质上都是同一个道理。
并且，在枚举的过程中，按行分治和按列分治在常数上的差异其实不大。
（我们可以想一想，不管是按行分治还是按列分治，都是将矩阵分为两个部分。这两个部分都是一个矩形，从右下角枚举到左上角，所以说常熟还是差不多的。卡过常数的人们都知道，在枚举的过程中，尽量一个接一个地枚举，不要跳着来。可问题是，都是一个接一个地枚举啊！）
所以说，原因只能归结于数据。
数据害死人！！！
然后我就脑补了一下出数据的场景：
出题人：这题要卡常才能过！所以我的数据要出大一些！
然后出了各种大数据，将标程可以过的留下来……
然而标程是按列分治的，并没有按行分治的，所以按行分治的不一定能过……
这只能怪出题人了。
另外的吐槽
我还发现，这题可以锻炼我的卡常技巧！
如何在卡常的情况下，依然能保持程序的美观？
~~众所周知，~~我的程序是很美观的……
然后请看看我的代码。
代码
这代码可能有点神仙，毕竟，美观与常数不可兼得！
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 500
#define Q 600000
struct bitset{/手打bitset
unsigned long long b[8];
inline void reset(){//清空
memset(b,0,sizeof b);
}
inline bool operator[](int y){//查询某一个位上的值
return b[y>>6]>>(y&63)&1;
}
inline void set(int y){
b[y>>6]|=1ll<<(y&63);//将某一个位上的值的值赋为1
}
inline void getor(bitset *ano){//将当前的bitset和其它bitset取or赋给自己
b[0]|=ano->b[0];
b[1]|=ano->b[1];
b[2]|=ano->b[2];
b[3]|=ano->b[3];
b[4]|=ano->b[4];
b[5]|=ano->b[5];
b[6]|=ano->b[6];
b[7]|=ano->b[7];
}
inline void get(bitset *x,bitset *y){//将自己的值赋为两个bitset的or值
b[0]=x->b[0]|y->b[0];
b[1]=x->b[1]|y->b[1];
b[2]=x->b[2]|y->b[2];
b[3]=x->b[3]|y->b[3];
b[4]=x->b[4]|y->b[4];
b[5]=x->b[5]|y->b[5];
b[6]=x->b[6]|y->b[6];
b[7]=x->b[7]|y->b[7];
}
} bs[N*N+1];
int cnt;
inline int input(){//读入优化
char ch=getchar();
while (ch<'0' || '9'<ch)
ch=getchar();
int res=0;
do{
res=res*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
while ('0'<=ch && ch<='9');
return res;
}
int n,m;
char mat[N+1][N+1];
int q;
struct Question{
int a,b,c,d;
int num;
} _t[Q+1],_tmp[Q+1],*t,*tmp;
bitset *f[N][N],*g[N][N];//为什么用指针呢？因为我们很容易发现，有时只会从一个转移，那么指针就可以大大地加快速度。具体见下面。
void dfs(int,int,int,int);
bool ans[Q+1];
int main(){
n=input(),m=input();
for (int i=0;i<n;++i)
scanf("%s",mat[i]);
q=input();
int tmpq=q;
q=0;
t=_t,tmp=_tmp;
for (int i=1;i<=tmpq;++i){
++q;
t[q].a=input()-1,t[q].b=input()-1,t[q].c=input()-1,t[q].d=input()-1;
t[q].num=i;
if (t[q].a>t[q].c || t[q].b>t[q].d)
q--;
}
dfs(0,n-1,1,q);
for (int i=1;i<=q;++i)
if (ans[i])
printf("Safe\n");
else
printf("Dangerous\n");
return 0;
}
void dfs(int l,int r,int x,int y){//[l,r]表示行的区间，[x,y]表示询问的区间
if (l>r || x>y)
return;
int mid=l+r>>1;
cnt=0;
if (mat[mid][m-1]=='0'){
bs[++cnt].reset();
bs[cnt].set(m-1);
f[mid][m-1]=bs+cnt;
}
else
f[mid][m-1]=bs;
for (int i=m-2;i>=0;--i)
if (mat[mid][i]=='0'){
++cnt;
bs[cnt].reset();
bs[cnt].set(i);
if (mat[mid][i+1]=='0')
bs[cnt].getor(f[mid][i+1]);
f[mid][i]=bs+cnt;
}
else
f[mid][i]=bs;
for (int i=mid-1;i>=l;--i)
if (mat[i][m-1]=='0' && mat[i+1][m-1]=='0')
f[i][m-1]=f[i+1][m-1];
else
for (;i>=l;--i)
f[i][m-1]=bs;//在转移最后一列的时候，我们发现，如果当中有一个断了，后面的就全断了
for (int i=mid-1;i>=l;--i)
for (int j=m-2;j>=0;--j)
if (mat[i][j]=='0')
if (mat[i][j+1]=='0'){
if (mat[i+1][j]=='0'){
bs[++cnt].get(f[i][j+1],f[i+1][j]);
f[i][j]=bs+cnt;
}
else
f[i][j]=f[i][j+1];
}
else{
if (mat[i+1][j]=='0')
f[i][j]=f[i+1][j];
else
f[i][j]=bs;
}
if (mat[mid][0]=='0'){
bs[++cnt].reset();
bs[cnt].set(0);
g[mid][0]=bs+cnt;
}
else
g[mid][0]=bs;
for (int i=1;i<=m-1;++i)
if (mat[mid][i]=='0'){
bs[++cnt].reset();
bs[cnt].set(i);
if (mat[mid][i-1]=='0')
bs[cnt].getor(g[mid][i-1]);
g[mid][i]=bs+cnt;
}
else
g[mid][i]=bs;
for (int i=mid+1;i<=r;++i)
if (mat[i-1][0]=='0' && mat[i-1][0]=='0')
g[i][0]=g[i-1][0];
else
for (;i<=r;++i)
g[i][0]=bs;
for (int i=mid+1;i<=r;++i)
for (int j=1;j<=m-1;++j)
if (mat[i][j]=='0')
if (mat[i][j-1]=='0'){
if (mat[i-1][j]=='0'){
bs[++cnt].get(g[i][j-1],g[i-1][j]);
g[i][j]=bs+cnt;
}
else
g[i][j]=g[i][j-1];
}
else{
if (mat[i-1][j]=='0')
g[i][j]=g[i-1][j];
else
g[i][j]=bs;
}
swap(t,tmp);//tmp表示原数组，t表示新数组，在这里交换只会交换指针
int i=x-1,j=y+1;
for (int k=x;k<=y;++k)
if (tmp[k].c<mid)//将在中间线上边和下边的区间分开，分别放在一块
t[++i]=tmp[k];
else if (tmp[k].a>mid)
t[--j]=tmp[k];
else
for (int l=tmp[k].b;l<=tmp[k].d;++l)
if (mat[mid][l]=='0' && (*f[tmp[k].a][tmp[k].b])[l] && (*g[tmp[k].c][tmp[k].d])[l]){
ans[tmp[k].num]=1;
break;
}
dfs(l,mid-1,x,i);
dfs(mid+1,r,j,y);
swap(t,tmp);//仔细想想可以发现，由下一层之间不会互相造成影响，所以这样做不会影响它的正确性。
}
简略地说一说我的各种优化
结合代码更加清晰易懂（清晰易懂个鬼啊！）
1、我们发现在DP转移的时候，经常会出现只转移一个或者是不转移的现象。那我们想一想，如果再用一个bitset将其存下，是不是一种浪费呢？因此，我们可以让几个转态共享一个结果。我们在一开始开好一个bitset内存池，在使用的时候，如果要开新值，那就在内存池里面分配一个，计算之后将当前的指针指向它。如果不用开新值，那就将当前的指针指向这个旧值的位置。
2、询问连成块。其实这个是本来就要做的，算不得优化。如果询问连成块，那就比较好处理，在枚举过程中就不会枚举到当前区间外的询问。我们可以用另一个数组，然后扫一扫区间内的所有询问，将其放在那个数组中，分成两边。然后在递归下去的时候，将两个数组交换（其实这样的正确性是很好保证的。因为处理完大区间后，小区间不会对大区间产生影响，并且小区间也不会互相产生影响，所以是正确的。还有，我发现了一直以来，我都犯了个错误：实际上，C++中的swap是交换数组里面的值，而不是交换指针。所以，直接用指针来指向数组就好了。）
3、特殊情况分开考虑，少一个if语句就少一个if语句，宁可码量大一些。
4、手打bitset。自己打的总感觉常数会小一些，并且可以直接压位！还有实际上bitset很好打。
5、读入优化：不解释。
6、各种剪枝判断……
7、开O2（这个优化就可以顶的过所有的优化）
说实在的，我的卡常技术已经大不如前了。
总结
首先，要信任你的时间复杂度……
如果时间复杂度是在次方以内的，恭喜你，一般都可以过。
如果差不多的就要卡卡常数……
最后，保持信仰，在正式比赛的时候出题人不会出这样的数据……
