[violet6] 故乡的梦

题目

描述

不知每日疲于在城市的水泥森林里奔波的你会不会有时也曾向往过乡村的生活。你会不会幻想过，在夏日一个静谧的午后，你沉睡于乡间路边的树荫里，一片叶子落在了你的肩上， 而你正做着一个悠长的梦，一个没有城市的梦。我们的问题，正围绕着这个梦境展开……
从 Azure 求学的城市到 Azure 家乡的村庄由若干条路径连接，为了简化起见，我们把这些路径抽象成一个 N 个节点的无向图，每个节点用一个[1,N]内的整数表示，其中城市在S节点，Azure 的故乡在T 节点。在某些节点对(x,y)之间会有双向道路连接，道路的长度为c。不过最近某些道路可能会在施工，Azure 想知道，假如某条道路被施工而不能通行的话， 他到故乡的最短路经的长度为多少（多次询问）。
$N,M,Q\leq 200000$

题目大意

给你一个带权无向图，有起点和终点。然后有许多询问，询问删除某两点之间的边后的最短路。

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分析&正解

这题是在某个PPT里看到的，都不知道在哪里可以评测，所以干脆没有打。
看看这题，感觉好像是一个非常经典的题型，可是……想不出来。

有一个思路：建立最短路图。
这个思路还是容易想到的，建立最短路图之后，如果删去的边不在最短路图之内，那么最短路就不变！
我们发现有些点是没有意义的，所以把它们删去。
最后形成的这个最短路图有一些有趣的性质。
先说明一下，这个最短路图还是当成无向图（我们平常建立的最短路图都是有向图）。
发现这个最短路图中有边双，缩点，然后继续观察。
我们会发现缩点之后的图是一条链。
为什么？万一是一棵树呢？
如果是一棵树，
因为这个图有起点和终点，我们假设起点在根节点，那么终点在某个叶子节点中。
由于我们已经在前面删掉了无意义的点，就是不会到终点的点。
那么除了起点到终点的这一条链，其它的分支都是没有意义的，所以会被删去。

这个结论很重要。
显然，如果删去的边在某个边双中，最短路的长度也是不会变的。
现在我们只需要思考，如果删去的是桥边，那么如何计算。
对于这些删去桥边的情况离线计算：
建立一个小根堆堆，存一些边，对于每个边$(u,v)$，存入的值为$disS_u+len(u,v)+disT_v$。
它代表了如果必须走这条边的最短路径。
然后一个一个扫边双，到了某个边双之后，就将所有从先前的边双连向它的边从堆中删去，然后将所有从它连向后面的边双的边加进来。
搞完之后，如果要删去这个边双和下一个边双之间的桥边，那么堆中的最小值就是答案。
为什么这么做？
先不考虑删除边，
如果边$(u,v)$不得不经过，为了使得路径长度最小，那么起点到$u$，$v$到终点，这两段的路径一定在最短路图之中。
当一个边双和下一个边双之间的桥断开的时候，我们不能走桥，不得不走其它的路径。
必须要经过某一条跨过中间的边。
所以，我们要将不跨过中间的边，也就是之前的边双连向这个边双的边删去，然后把新的边加进来。

时间复杂度是$O((N+M+Q)\lg N)$，很优秀。

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总结

在见到某些类似于动态最短路题目的时候，我们可以想到建立最短路图。
然后注意最短路图在缩点之后会变成一条链（有起点和终点的情况下）。
最后就是想想如何在边双之间处理东西。
感觉上这道题还挺不错，可惜没有地方评测……