[JZOJ3187]【GDOI2013模拟8】的士

题目

描述

题目大意

在一个数轴上，有些人要从某个点到达另一个点。
出租车从最左端出发，将所有人送到它们的目的地，最终到达最右边的点。
出租车只能做一个乘客，并且可以在图中将乘客丢下。
问最短时间。

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思考历程

一看就觉得是神仙题，
往DP方向思考，没有一点点长进……
压根就没有想过贪心……
然而这题又没得打暴力，于是一分都没有拿。

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正解

面对这种神仙题，为什么我没有想到贪心……
首先将有用功加入答案中。
出租车走过的路径一定连在一起的，如果我们添加一条从$M$到$0$的路径，就能保证它最终能到达$M$点。这样路径就构成了一个环。
可以通过各个点将数轴分成很多段，每一段上有一些往左走的路，有一些往右走的路。
大多时候这些向左走和向右走的路径条数是不一样的，但我们求的是环（欧拉回路）。
于是我们相减，取绝对值，强制添加路径。
这样搞出来之后可能不会连通，但由于有条从$M$到$0$的路径，如果不连通，一定可以有种花费同样代价的方式使得它们串成一个欧拉回路。所以直接添加就好。
那么我们差分处理一下就搞定了。

然后还有一种神奇的方法。
同样要加上$M$到$0$的路径。
首先将有用功加入答案中，然后的具体做法比较神奇：将起点和终点分别排序，下标相同的坐标相减取绝对值，加入答案中。
然后就没了。
这是什么神仙做法？
根据我的理解，这也是搞出欧拉回路，然后贪心地将起点和终点配对，即连在一起。
配对的时候排序，然后两两配，这样是最小的。我自己想了一个不完整的证明：假设有$a_1\leq a_2$和$b_1\leq b_2$，可以证明$|a_1-b_1|+|a_2-b_2|\leq |a_1-b_2|+|a_2-b_1|$。在数轴上分类讨论就可以证明了。
仔细想想，我发现这似乎已经无视了可以把乘客中途扔下车的操作（除了将几个欧拉回路连在一块之外）！
路径分成了很多段，如果拆开来这样做，就相当于可以中途将乘客赶下车，这样一定是没有问题的。这几段中，中间的每个交点既是起点，又是终点，它们自己和自己配对，不会优于与真正的起点终点配对。
这个东西感性理解一下吧……不会证明。

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100010
int n,end;
struct Op{
	int x,ty;
} o[N*2];
int m;
inline bool cmp(const Op &a,const Op &b){
	return a.x<b.x;
}
long long ans;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&end);
	o[++m]={end,-1};
	o[++m]={0,1};
	for (int i=1;i<=n;++i){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		ans+=abs(x-y);
		o[++m]={x,-1};
		o[++m]={y,1};
	}
	sort(o+1,o+m+1,cmp);
	for (int i=2,j=o[1].ty;i<=m;++i){
		ans+=1ll*(o[i].x-o[i-1].x)*abs(j);
		j+=o[i].ty;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}