[JZOJ4639] 【NOIP2016提高组A组7.16】Angel Beats!

题目

描述

题目大意

给你一棵树，每次询问两个点，求出这两个点的子树的重心到其中每个点的距离和。
重心的定义是到其中每个点距离和最小的点（不一定在两棵子树内）

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思考历程

想想以前我是怎么求重心的呢……先预处理出$siz$，然后重心有个强大的性质：
将重心看做根节点，则其中的每课子树的大小都小于等于它的一半
然后我就乱搞出了一个方法。
可是我最终发现了一个问题：这不是传统的一棵树，这是两棵子树！
于是我的想法就崩塌了。
尝试其它想法。
设输入的两个点分别为$x$和$y$。
重心应该在$x$或$y$的子树内，或者是在$x$到$y$的路径上。
显然，如果在其它地方，一定有更优解。
首先考虑在$x$到$y$的路径上。
我们用一种思路来思考一下，假如当前在$t$点，然后通过移动到更优的位置来不断更新$t$，直到不能被更新为止。
现在$t=x$，然后$t$要向$y$移动。显然移动一段距离的贡献为$siz_x-siz_y$
然而我们发现这个是一个定值，往同一方向移动就会不停增或减。所以最终一定会移动到$x$点或$y$点。
所以没有必要考虑在$x$到$y$路径上的情况。

设$all=siz_x+siz_y$，即总大小。
考虑从$u$移到儿子$v$的贡献。
对于$v$的子树，距离都会减一，所以贡献为$-siz_v$
对于$v$的子树之外的地方，距离都会加一，所以贡献为$all-siz_v$
总贡献为$all-2siz_v$。
显然如果一直往下走，$siz_v$递减，所以这个东西是递增的。
所以当$2siz_v>all$时，往下走要比现在的答案更优。

问题来了，儿子这么多，走哪边？
树链剖分，走重链！
为什么？
其实树链剖分有个性质：对于$u$的轻儿子$v$，满足$2siz_v<siz_u$
这个结论也是比较好证明的，$v$是轻儿子，所以它子树的大小小于等于重儿子的大小，然后就成立了。
对比一下$2siz_v<siz_u$和上面的式子$2siz_v>all$。
由于$siz_u<all$，所以轻儿子是一定不能走下去的，只有重儿子才有可能走下去。
所以走重链就可以了。答案在$x$或$y$为开始的重链上。

有了这个结论，也可以知道重心会在更大的那棵子树中。
假设$siz_x>siz_y$，显然$2siz_y<all$，所以在$y$的子树中下不去！
接下来就好办了，对于每条重链，可以往下倍增，倍增到最后一个满足$2siz_v>all$的，沿路统计答案。
显然可以预处理出每个节点的子树中的每个点到根的路径和，设为$sum$。显然$sum_x+len*siz_y+sum_y$为它的初值（len表示$x$到$y$的距离）。
然后就没有然后了。
至于一棵子树包含另一种子树的情况，就不用说了，更简单。

时间复杂度比较优秀：$O((n+q)\lg n)$

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总结

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100010
int n;
int fa[N];
struct EDGE{
	int to;
	EDGE *las;
} e[N];
int ne;
EDGE *last[N];
long long sum[N];
int dep[N],siz[N],hs[N],dfn[N],nowdfn,top[N];//hs为重儿子
long long ssiz[N];//表示从上到下的siz和
void dfs(int x){
	dfn[x]=++nowdfn;
	siz[x]=1;
	dep[x]=dep[fa[x]]+1;
	for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las){
		dfs(ei->to);
		sum[x]+=sum[ei->to]+siz[ei->to];
		siz[x]+=siz[ei->to];
		if (siz[ei->to]>siz[hs[x]])
			hs[x]=ei->to;
	}
}
void dfs2(int x,int t){
	ssiz[x]=ssiz[fa[x]]+siz[x];
	top[x]=t;
	if (hs[x])
		dfs2(hs[x],t);
	for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
		if (ei->to!=hs[x])
			dfs2(ei->to,ei->to);
}
int lca(int u,int v){
	while (top[u]!=top[v]){
		if (dep[top[u]]<dep[top[v]])
			swap(u,v);
		u=fa[top[u]];
	}
	return dep[u]<dep[v]?u:v;
}
int down[N][17];//倍增数组
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for (int i=2;i<=n;++i){
		scanf("%d",&fa[i]);
		e[++ne]={i,last[fa[i]]};
		last[fa[i]]=e+ne;
	}
	dfs(1);
	dfs2(1,1);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		down[i][0]=hs[i];
	for (int i=1;i<=16;++i)
		for (int j=1;j<=n;++j)
			down[j][i]=down[down[j][i-1]][i-1];
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if (siz[x]<siz[y])
			swap(x,y);
		long long all=siz[x],ans=sum[x];
		if (!(dfn[x]<=dfn[y] && dfn[y]<dfn[x]+siz[x])){
			all+=siz[y];
			ans+=(dep[x]+dep[y]-2*dep[lca(x,y)])*siz[y]+sum[y];
		}
		for (int i=16;i>=0;--i)
			if (all<siz[down[x][i]]*2){
				ans+=(all<<i)-2*(ssiz[down[x][i]]-ssiz[x]);
				x=down[x][i];
			}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

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总结

原来树链剖分还可以这么用……