[JZOJ3293] 【SHTSC2013】阶乘字符串

题目

题目大意

给你一个字符串，判断这个字符串是否为“阶乘字符串”。
就是子序列包含字符集的全排列的字符串。
$n\leq 26$ $|S|\leq 450$

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思考历程

首先，设$to_{i,ch}$表示$i$后面遇到的第一个$ch$（字符）的位置。
这个东西很好预处理。搞出之后可以看成一张图。
那么我们就可以搞出最裸的暴力：枚举全排列，在图上跑，找一找是否有这样的路径。
显然，当前选的字母一定是越早越好，这样后面就能有更多的选择。所以这个方法是正确的。
从$0$开始在图上跑，每次走没有走过的字母，直至走出一条长度为$n$的路径。显然图上的每一条这样的路径都是唯一的。
于是我就试着求出这些路径条数，即为子序列包含的全排列字符串的个数。
状压DP：设$f_{i,s}$表示到$i$，出现过的字符的集合为$s$的方案。
这样跑一跑显然是会超时的。所以我就试着折半搜索，大大减少了时间复杂度。
但是还是有点大……其中$s$还比较难存，所以我打了map。
然而最终……30分……
和人家暴力的分数一模一样……
应该是常数过大吧……

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正解

也是状压DP，设$f_{s}$表示$s$集合中的字符的全排列全部出现时的最前的位置。
转移的时候枚举$k\in S$，然后从$f_{s-\{k\}}$转移过来，方程显然。
预处理的那个数组还是要的。
但是$2^{26}$很大……
有个很强大的结论：如果$n>21$，则$450$的长度以内没有答案。
具体证明……我不会，网上也没有……
我只知道最短长度是$O(n^2)$级别的，但是不知道怎么求……
所以应该预估一下时间复杂度，发现跑不过去，大胆猜想，从而得出这个结论

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#define INF 0x7f7f7f7f
int n,len;
char lis[453];
int to[453][26];
int f[1<<21|1];
int main(){
	freopen("in.txt","r",stdin);
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		scanf("%d%s",&n,lis+1);
		if (n>21){
			printf("NO\n");
			continue;
		}
		len=strlen(lis+1);
		memset(to,0,sizeof to);
		for (int i=0;i<=len;++i){
			for (int j=i+1,k=0;j<=len && k<n;++j)
				if (!to[i][lis[j]-'a'])
					to[i][lis[j]-'a']=j,k++;
			for (int j=0;j<n;++j)
				if (!to[i][j])
					to[i][j]=INF;	
		}
		memset(f,0,sizeof f);
		f[0]=0;
		for (int i=1;i<(1<<n);++i)
			for (int j=0;j<n;++j)
				if (i>>j&1)
					f[i]=(f[i^1<<j]==INF?INF:max(f[i],to[f[i^1<<j]][j]));
		if (f[(1<<n)-1]==INF)
			printf("NO\n");
		else
			printf("YES\n");
	}
	return 0;
}

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总结

论大胆猜想的重要性……