奇怪的数学——写给自己，以防忘记

• 一 组合数
  • 1 和杨辉三角的关系
• 二 逆元
  • 1 快速幂求逆元
• 三 矩阵
  • 1 矩阵乘法
  • 2 矩阵乘法的运算定律
    • 1 不满足交换律
    • 2 满足结合律ABCABC
    • 3 满足分配律ABCACBC ABCABAC
• 四其它奇怪东西
  • 1如果有互质数ab不能表示成axby的数最大为ab-a-b

一、 组合数

C(m,n)表示m个中选n个的方案数

C(m,n)=m!n!(m−n)!

1、 和杨辉三角的关系

C(i,0)=C(i,i)=1

C(i,j)=C(i−1,j−1)+C(i−1,j)

这就是杨辉三角：

  0 1 2 3 4
0|1
1|1 1
2|1 2 1
3|1 3 3 1
4|1 4 6 4 1
……

二、 逆元

对于a和模数p，若ax≡1(modp)，则x是a的逆元。
有什么用？当你要除以a时，你可以用乘x代替。因为除法不能直接进行模运算。
举个例子：
a=2 p=7
则x=4
当我们要算6/2 mod 7时，可以用6*4 mod 7来代替。

1、 快速幂求逆元

有一个奇怪的公式：

aφ(p)≡1(modp)

变形得：

a∗aφ(p)−1≡1(modp)

所以aφ(p)−1即a的逆元。
当p为质数时，φ(p)=p-1。模数常常是质数。所以ap−2就是a的逆元（重复一遍，p为质数时！）

三、 矩阵

加减不说，对应的加在一起好了。

1、 矩阵乘法

一张好图，在这里发现的，方便理解矩阵乘法。(这张图是从0开始的，我们习惯从1开始)

一个m∗n的的A矩阵，和一个n∗p的B矩阵相乘，将得到一个m∗p的矩阵C

C(i,j)=∑k=1pA(i,k)∗B(k,j)

可以简单地理解为，A中i行的元素，与B中j列的元素，对应相乘得到的和。

2、 矩阵乘法的运算定律

（1） 不满足交换律

（2） 满足结合律：(AB)C=A(BC)

（3） 满足分配律：(A+B)C=AC+BC A(B+C)=AB+AC

四、其它奇怪东西

1、如果有互质数a,b，不能表示成ax+by的数最大为ab−a−b