詹氏筛法和詹欧筛法——撵爆线筛的强大筛法，算法史的骄傲

先介绍一下伟大的发明人：
ZZX，就读于广东省中山市纪念中学。
曾获得多个奖项，是一个超强的OI选手。
发明了两个改变世界的重要算法：詹筛和詹增

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先说以前的筛法是发么打的。
一开始，我们打的都是埃氏筛法。就是从前往后扫，遇到一个素数，就筛去它的倍数，打上标记。没有打上标记的就是素数。
这个算法自然是很慢的，据说时间复杂度是$O(n \ln n)$。
于是我们就引进了欧拉筛法，也就是线筛，那么我们可以保证对于每个数，它们至多被筛一次，所以时间复杂度是$O(n)$的。
线筛比前面的算法优秀很多，所以一般情况下，我们都会选择打线筛。
可是，到此为止了吗？
不，我们还有詹筛。

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其实詹筛的时间复杂度并不优秀，它不是线性的。
本质上它就是埃氏筛法的优化版本。
当$n=10^8$的时候，在JZOJ上评测，詹筛比线筛快了大概50ms。
如果这个$n$可以大些，詹筛或许不如线筛，可是，你还能再大多少吗？在OI比赛当中，你的空间有多少，你的时间有多少？所以在OI比赛的时间和空间范围限制中，詹筛是撵爆线筛的。

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詹筛的思想其实很简单，就是在埃氏筛法当中，把$2$给拎出来单独考虑。
显然除了$2$以外，其它的偶数都不是合数。在埃氏筛法的处理当中，与$2$有关的东西其实很多。
于是就有了下面这个代码：

	for (int i=3;i*i<=n;i+=2)
		if (!inp[i])
			for (int j=i*i;j<=n;j+=i<<1)
				inp[j]=1;

是不是特别短？
这样我们就可以将标记数组给求出来，当然，这不包括偶数，在素数判定的时候我们要特判一下就好了。
詹筛是不需要将素数表打出来的，如果要打出来，扫一遍就好了。
或许不会比线筛优化多少，但是詹筛的代码太简洁了，看起来比线筛舒服很多。

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欧拉：我不服！量你个毛头小子，居然敢撵爆欧拉筛法。
ZZX：行行行，我们结合起来好不好？
于是有了下面的代码：

	p[*p=1]=2;
	for (int i=3;i<=n;i+=2){
		if (!inp[i])
			p[++*p]=i;
		for (int j=2;j<=*p && i*p[j]<=n;++j){
			inp[i*p[j]]=1;
			if (!(i%p[j]))
				break;
		}
	}

这样就比线筛和原来的詹筛快多了哈哈哈……
于是我们起名叫詹欧筛法。
欧拉笑嘻嘻地回到他的天堂去了，原先的詹筛就算是吸氧气都比不上詹欧筛法（处理素数表的情况下）！

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有一句话说得好：优化永无止境！
所以说还可以再优化吗？
吸一口臭氧
不只是考虑$2$，也考虑$3$？
这似乎是一种不错的思路，但代码复杂度一定大很多，况且计算机是二进制的，用$3$可能会造成一些不好的常数影响。

其实有一种比较好的优化：
我们只需要存奇数，偶数的标记数组是可以不需要的。
那么就变成这样：

	p[*p=1]=2;
	for (int i=3;i<=n;i+=2){
		if (!inp[i>>1])
			p[++*p]=i;
		for (int j=2;j<=*p && i*p[j]<=n;++j){
			inp[i*p[j]>>1]=1;
			if (!(i%p[j]))
				break;
		}
	}

这样可以将标记数组的空间减半，并且时间上优化约40ms。

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不过在有些时候我们利用筛法求的东西不只是素数，可能还有什么$\mu$和$\phi$之类的。
下面是求最小质因数的例子。

	mp[2]=2,p[*p=1]=2;
	for (int i=3;i<=n;i+=2){
		if (!mp[i])
			mp[i]=i,p[++*p]=i;
		for (int j=2;j<=mp[i] && i*p[j]<=n;++j)
			mp[i*p[j]]=j;
	}

这个程序比上面的周筛法（连读）慢，但是它可以求出最小的质因数。
至于其它的……那就不在这里说明了。