递归（Recursion）简述及一些注意事项

《Data Structure and Algorithm Analysis in C++》笔记

 

大多数的数学函数可以被描述成简单表达式。

例如：

　　华氏度和摄氏度转换的表达式为

　　　　C = 5 *( F - 32 ) / 9

这种式子我们可以明确地一行行转换成C++代码。

 

但有时候，数学函数的表达式采用另一种形式——递推式（iterative）。

例如：

　　f(0) = 0

　　f(x) = 2 * f(x - 1) + x²

计算几项结果：

　　f(1) = 1，f(2) = 6, f(3) = 21 ...

递推式通常给出初值和条件，后项由前项加以条件得到结果，层层进行以得到各项。

 

对于递推式，C++语言可以通过两种思路处理。

其中一种是递归（recursive）。

 

C++允许函数被递归式定义,但这种允许是有条件的。

并非所有数学上的递推式都可以高效地（或者正确地）使用C++模拟。

出于效率考虑，我们理想中的递归实现应当保证后项依赖的前项不涉及复杂计算。

 

上述递推式的C++语言描述：

int f(int x) {
　　if (x == 0) {
　　　　return 0;
　　}
　　else {
　　　　return 2 * f(x - 1) + x*x;
　　}
}

 

其中第2到3行是递推式f(0)的描述，它在递推式中叫做初始条件，而在递归实现中称为递归出口。

仅仅声明f(x) = 2f(x-1) +x²的关系是无意义的，递归实现必须先给出明确的递归出口。

 

对于递归，通常会存在普遍的疑问。

其中一个共同的问题就是：难道这不会陷入绕圈逻辑？如何避免呢？

答案是：

　　只要我们在给定递推关系时，保证递推关系仅仅依赖于前后项而非自身即可。

换句话：

　　递推f(5)需要用到计算f(5)的结果，那将会陷入绕圈。

　　但递推f(5)仅需要用到计算f(4)的结果，不会绕圈。

 

另外一个重要问题，检查递归出口有效性。（小心负数，小心除法）

在上述递归实现中，

想知道f(3)，就得知道f(2)。想知道f(2)，就得知道f(1)。想知道f(1),就得知道f(0)。而f(0)=0是已知的。

这使得其看上去像是个美妙的递归实现。

 

小心负数：

但假如我们试图计算符合数据类型的f(-1)呢？

想知道f(-1)，就得知道f(-2)。想知道f(-2)，就得知道f(-3)。……

以此类推，想得到前项需要用到无限的后项，计算机永远也得不到结果，这种实现明显是不合格的。

 

另外的导致递推出口失效的隐秘可能，除法运算：

int bad(int n) {
　　if (n == 0) {
　　　　return 0;
　　}
　　else {
　　　　return bad(n / 3 + 1) + n - 1;
　　}
}

它看上去定义了明确的递推出口，但bad(1) 需要知道bad(n / 3 + 1)，而C++的除法运算会隐式转换，1/3 =0.

bad(1)需要知道bad(1),bad(2)需要知道bad(1)，而bad(3)到bad(5)都需要知道bad(2)。

而这种混乱关系中，我们仅仅知道bad(0) = 0这个无法抵达的出口，因此整个递归实现都失效了。

 

在递推关系涉及到负数和除法运算时，我们要格外小心。

 

不止一个但同一类出口：

在设备一次只允许输出一位的情况下，按位输出完整数字，

void printNum(int n) {
    if (n>=10) {
        printNum(n / 10);
    }
    std::cout << n % 10;
}

那么出口将是

if(0<=n<10){

　　将该数字输出
}

也即0~9内任意可能的一个数字。

而虽然其出口导向的结果不为一个，但判定其不会绕圈是因为，若划分族群，每一个大的数的族，都将由明确的小同族的数确定。