树状数组详解

先来看几个问题吧。

1.什么是树状数组？

顾名思义，就是用数组来模拟树形结构呗。那么衍生出一个问题，为什么不直接建树？答案是没必要，因为树状数组能处理的问题就没必要建树。和Trie树的构造方式有类似之处。

2.树状数组可以解决什么问题

可以解决大部分基于区间上的更新以及求和问题。

3.树状数组和线段树的区别在哪里

树状数组可以解决的问题都可以用线段树解决，这两者的区别在哪里呢？树状数组的系数要少很多，就比如字符串模拟大数可以解决大数问题，也可以解决1+1的问题，但没人会在1+1的问题上用大数模拟。

4.树状数组的优点和缺点

修改和查询的复杂度都是O(logN)，而且相比线段树系数要少很多，比传统数组要快，而且容易写。

缺点是遇到复杂的区间问题还是不能解决，功能还是有限。

---

一、树状数组介绍

二叉树大家一定都知道，如下图

如果每个父亲都存的是两个儿子的值，是不是就可以解决这类区间问题了呢。是的没错，但是这样的树形结构，叫做线段树。

那真的的树形结构是怎样的，和上图类似，但省去了一些节点，以达到用数组建树。

黑色数组代表原来的数组（下面用A[i]代替），红色结构代表我们的树状数组(下面用C[i]代替)，发现没有，每个位置只有一个方框，令每个位置存的就是子节点的值的和，则有

• C[1] = A[1];
• C[2] = A[1] + A[2];
• C[3] = A[3];
• C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];
• C[5] = A[5];
• C[6] = A[5] + A[6];
• C[7] = A[7];
• C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];

可以发现，这颗树是有规律的

C[i] = A[i - 2^k+1] + A[i - 2^k+2] + ... + A[i];   //k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度

例如i = 8(1000)时候，k = 3，可自行验证。

这个怎么实现求和呢，比如我们要找前7项和，那么应该是SUM = C[7] + C[6] + C[4];

而根据上面的式子，容易的出SUM_i = C[i] + C[i-2^k1] + C[(i - 2^k1) - 2^k2] + .....；

其实树状数组就是一个二进制上面的应用。

现在新的问题来了2^k该怎么求呢，不难得出2^k = i&(i^(i-1));但这个还是不好求出呀，前辈的智慧就出来了，2^k = i&(-i);

为什么呢？

这里利用的负数的存储特性，负数是以补码存储的，对于整数运算 x&(-x)有
       ● 当x为0时，即 0 & 0，结果为0；
       ●当x为奇数时，最后一个比特位为1，取反加1没有进位，故x和-x除最后一位外前面的位正好相反，按位与结果为0。结果为1。
       ●当x为偶数，且为2的m次方时，x的二进制表示中只有一位是1（从右往左的第m+1位），其右边有m位0，故x取反加1后，从右到左第有m个0，第m+1位及其左边全是1。这样，x& (-x) 得到的就是x。 
       ●当x为偶数，却不为2的m次方的形式时，可以写作x= y * (2^k)。其中，y的最低位为1。实际上就是把x用一个奇数左移k位来表示。这时，x的二进制表示最右边有k个0，从右往左第k+1位为1。当对x取反时，最右边的k位0变成1，第k+1位变为0；再加1，最右边的k位就又变成了0，第k+1位因为进位的关系变成了1。左边的位因为没有进位，正好和x原来对应的位上的值相反。二者按位与，得到：第k+1位上为1，左边右边都为0。结果为2^k。
        总结一下：x&(-x)，当x为0时结果为0；x为奇数时，结果为1；x为偶数时，结果为x中2的最大次方的因子。

而且这个有一个专门的称呼，叫做lowbit，即取2^k。

二、如何建立树状数组

上面已经解释了如何用树状数组求区间和，那么如果我们要更新某一个点的值呢，还是一样的，上面说了C[i] = A[i - 2^k+1] + A[i - 2^k+2] + ... + A[i]，那么如果我们更新某个A[i]的值，则会影响到所有包含有A[i]位置。如果求A[i]包含哪些位置里呢，同理有

A[i] 包含于 C[i + 2^k]、C[(i + 2^k) + 2^k]...；

 

好，现在已经搞清楚了更新和求和，就可以来建树状数组了。如果上面的求和、更新或者lowbit步骤还没搞懂的化，建议再思考弄懂再往下看。

那么构造一个树状数组则为

int n;
int a[1005],c[1005]; //对应原数组和树状数组

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

void updata(int i,int k){    //在i位置加上k
    while(i <= n){
        c[i] += k;
        i += lowbit(i);
    }
}

int getsum(int i){        //求A[1 - i]的和
    int res = 0;
    while(i > 0){
        res += c[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

这样就构造了一个树状数组。下面看一道模板题目吧。

6565: 区间操作4

描述

 

 

给定n个数列,规定有两种操作，一是修改某个元素，二是求子数列[a,b]的连续和。数列元素个数最多100万个，询问操作最多100万次。

 

 

输入

 

 

第一行2个整数n,m。n表示输入n个数，m表示m次操作，1<=n,m<=10⁶。

第二行n个整数，代表数列a，a[i]<=10⁶。

接下来m行，每行三个数k,a,b(k=1,表示第a个数加b，b<=10⁶；k=2,表示求子数列[a,b]的连续和）

 

 

输出

 

 

若干行,表示k=2时，对应子数列[a,b]连续和。

 

 

样例输入

 

3 2
1 2 3
1 2 0
2 1 3

样例输出

6

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6+10,inf = 0x3f3f3f3f;
ll c[N];
//c是树状数组，其中c[i] = a[i-2^k+1]+...+a[i](k为在i的二进制形式下末尾0的个数)
int n,m,k,a,b;
int lowbit(int x) //用lowbit(x)表示2^k k为x在二进制形式下末尾0的个数 
{
    return x&(-x);
} 
void updata(int x,int v) //在序列第x个位置上加上v，并在树状数组中修改元素
{
    while(x<=n)
    {
        c[x]+=v;
        x+=lowbit(x);
    }
} 
ll sum(int x) //计算第1个数到第x个数的和
{
    ll res = 0;
    while(x>0)
    {
        res+=c[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return res;
} 
int main()
{
    int v;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&v);
        updata(i,v);
        //开始每个元素初始值为0，我们读入数列时直接在对应的位置增加v即可 
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&k,&a,&b);
        if(k==2)
            printf("%lld\n",sum(b)-sum(a-1));
            //计算区间[a,b]的和时，可以分别算出[1,b]和[1,a-1]的和，相减即为[a,b]的和
        else
            updata(a,b); //在第a个位置上加上b 
    }
     return 0;
}