算法：记忆化搜索算法

一：简述

　　记忆化搜索实际上是递归来实现的，但是递归的过程中有许多的结果是被反复计算的，这样会大大降低算法的执行效率。

　　而记忆化搜索是在递归的过程中，将已经计算出来的结果保存起来，当之后的计算用到的时候直接取出结果，避免重复运算，因此极大的提高了算法的效率。

 

二：应用实例

题目描述

对于一个递归函数w(a,b,c)

• 如果 a<=0 or b<=0  or  c<=0 就返回值1.
• 如果 a>20 or b>20 or c>20就返回w(20,20,20)
  
• 如果 a<b并且b<c 就返回w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c)
  
• 其它的情况就返回w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1)

这是个简单的递归函数，但实现起来可能会有些问题。当a,b,c均为15时，调用的次数将非常的多。你要想个办法才行.

/* absi2011 : 比如 w(30,-1,0)既满足条件1又满足条件2

这种时候我们就按最上面的条件来算

所以答案为1

*/

输入输出格式

输入格式：

 

会有若干行。

并以-1,-1,-1结束。

保证输入的数在[-9223372036854775808,9223372036854775807]之间，并且是整数。

 

输出格式：

 

输出若干行，每一行格式：

w(a, b, c) = ans

注意空格。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

1 1 1
2 2 2
-1 -1 -1

输出样例#1： 复制

w(1, 1, 1) = 2
w(2, 2, 2) = 4

---

　　
　　这是一个非常经典的记忆化搜索的题目。
　　拿到这个题，首先可以想到的就是递归的方法，看上去用递归可以轻而易举的解决。但是递归的开销是不一般的大。下面先给大家上一个递归的代码，以便和之后的记忆化搜索的进行对比。
　　

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include <time.h>    //用来记时 
using namespace std;
clock_t start, finish;
double duration;

typedef long long ll;
ll f[30][30][30];

int w(ll a, ll b, ll c){      //递归的函数 
    if(a<=0||b<=0||c<=0){
        return 1;
    }
    else if(a>20||b>20||c>20){
        return w(20,20,20);
    }
    else if(a<b&&b<c){
        return w(a,b,c-1) + w(a,b-1,c-1) - w(a,b-1,c);
    }
    else{
        return w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1);
    }
}

int main(){
    ll a, b, c;
    while(1){
        cin >> a >> b >> c;
        start = clock();    //开始计时 
        if(a==-1&&b==-1&&c==-1) return 0;
        else{
            printf("w(%lld, %lld, %lld) = %d\n", a, b, c, w(a, b, c));
            finish = clock();    //结束记时 
            duration = (double)(finish - start) / CLOCKS_PER_SEC;   //计算持续时间 
            printf( "%f seconds\n", duration );
        }
    }
    return 0;
} 

　　运行结果

 

记忆化搜索解法

　　开辟一个数组 f[][][]，用来存储计算出来的结果。

　　关于数组的大小：因为题目中给出了一个条件 “ 如果 a>20 or b>20 or c>20就返回w(20,20,20) ” 那么数组只要最小开到 f[21][21][21]就够用了。

　　具体的步骤看代码中的注解。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include <time.h>   
using namespace std;
clock_t start, finish;
double duration;

typedef long long ll;
ll f[30][30][30];

int w(ll a, ll b, ll c){
    if(a<=0||b<=0||c<=0){
        return 1;
    }
    else if(a>20||b>20||c>20){
        return w(20,20,20);
    }
    else if(f[a][b][c]!=0)return f[a][b][c];   //如果之前被计算过，那么直接返回存在数组中的结果 
                                                //没有计算过的，就进行的计算 
    else if(a<b&&b<c){                            
        f[a][b][c] = w(a,b,c-1) + w(a,b-1,c-1) - w(a,b-1,c);
    }
    else{
        f[a][b][c]=w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1);
    }
    return f[a][b][c];            //计算完毕之后返回计算出的结果 
}

int main(){
    ll a, b, c;
    while(1){
        cin >> a >> b >> c;
        start = clock();    //开始计时 
        if(a==-1&&b==-1&&c==-1) return 0;
        else{
            printf("w(%lld, %lld, %lld) = %d\n", a, b, c, w(a, b, c));
            finish = clock();    //结束记时 
            duration = (double)(finish - start) / CLOCKS_PER_SEC;   //计算持续时间 
            printf( "%f seconds\n", duration );
        } 
    }
    return 0;
} 

　　

　　运行结果

　　大家和递归的运行时间对比一下就可以看出，当递归的次数多了之后，效率要高出很多。

三：总结过程　

　根据上面的题，可以总结一个记忆化搜索的过程。

f（problem p）{
    if(p has been solved){
         return the result      
    }else{
         divide the p into some sub-problems (p1, p2, p3...)
         f(p1);
         f(p2);
         f(p3);
         ...
    }