排列组合

1.排列

从n个不同元素中任取m个数有顺序地排列在一起，有A_n^m种方法：

A_n^m=n*(n-1)*......(n-m+1)。（注意A_n^m不是A_n的m次幂，下同）

2.组合

从n个不同元素中任取m个数有C_n^m中取法（不计顺序）

因为C_n^m*A_m^m=A_n^m

所以C_n^m=A_n^m/A_m^m=n*(n-1)*......*(n-m+1)/m*(m-1)*......*3*2*1=n!/(m!*(n-m)!)。

举几个例子：

1.有7个同学排成一排，有2个女生；

（1）2个女生不挨着（插空法）

A₅⁵*A₆²

（2）2个女生必须挨着（捆绑)

A₆⁶*A₂²

2.x¹+x²+x³+x⁴=8

(1)求正整数解的个数（隔板法）

C₇³

（2）求自然数解的个数

令y_i=x_i+1(x=1,2,3,4）

=>y₁+y₂+y₃+y₄=12

C₁₁³

组合数运算：

（1）2个性质：

①C_n^m=c_n^n-m

C_n⁰=C_nⁿ=1

②C_n^m-1+C_n^m=C_n+1^m

(2)2个重要结论

①C_n⁰+C_n¹+...+C_nⁿ=2ⁿ

②k*C_n^k=n*C_n-1^k-1