【ACWING】二分算法

二分查找

1. 二分主要分为整数和实数两种问题，最麻烦的是整数二分问题，因为涉及到的边界问题比较多

2. 二分大多是利用了单调性，有单调性的一定可以二分，但是有些二分可以没有单调性

3. 二分的本质按y总说的，就是利用一个边界点，将其分为两部分，一部分满足一定条件，另一部分不满足这个条件

整数二分两种模板

注意下图中我没有标注mid的位置。因为mid就是图中标记为true/false的点

int l=0,r=len-1;
//模板1
int bseach_1(int l,int r)
{
    while(l<r)
    {
        int mid=l+r>>1;
        if(check(mid))  r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    return l;
}
 
//模板2
int bseach_2(int l,int r)
{
    while(l<r)
    {
        //这里一定要+1，不然若r=l+1，mid=l+r时，计算出来取下整，得到mid=l，这时候会死循环。
        int mid=l+r+1>>1;
        if(check(mid)) l=mid;
        else r=mid-1;
    }
    return l;
}

如何区分两种模板捏？

• 先写个int mid=l+r>>1;
• 判断如何写check函数，（单调性用的多）
• 先画图判断check(mid)==true时r,l如何更新
• 确定完之后，根据L,R的更新方式，看看mid处是否+1

二分模板一定有解，如果有无解的情况，是题目设置的问题

二分会在l=r时退出循环，最终判断就是看q[l]的值是否是符合题意的，不符合即为无解

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浮点数二分

浮点数二分的退出条件就是最后的区间小于一定程度，比如r-l<1e-8 的时候，我们认为q[l]就是我们想要的值。

这里 1e-8这个值是不定的，为了适应精度问题，一般多两位，比如说要求保留5位小数，最后要小于1e-7

而且这时候我们不需要考虑边界问题，所以只有一种模板

以求平方根的结果为例子

int main(){
    double x;
    cin >> x;
    
    double l = 0,r = 10000;
    //第二种写法就是直接for(int i =0;i<100;i++)  这样子迭代下去
    while(r-l>1e-8)		
    {
        double mid =(l+r)/2;
        if (mid*mid>=x) r=mid;
        else l=mid;
    }
    printf("%lf\n",l);
    return 0;
}