实变函数例题(1)

例题（一）

主题：集合的关系

例1

设\(f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的实值函数，则

\[\bigcup_{n=1}^\infty \{x:|f(x)|\le n\}= \{x:f(x)\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}.\\ \{x:|f(x)|>0 \}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{x:|f(x)|>\frac{1}{n} \},\\ \{x:|f(x)|=0 \}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\{x:|f(x)|\le \frac{1}{n} \}. \]

(1)记\(A_n=\{x:|f(x)|\le n\}\)，\(A=\{x:f(x)\in\mathbb{R}\}\)，则显然\(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\subset A\)。反之，对\(x\in\mathbb{R}\)，由于\(f\)定义在\(\mathbb{R}\)上，所以\(f(x)\)存在并有界，存在某个整数\(n_0\ge 0\)，使得\(|f(x)|\le n_0\)，所以

\[A\subset A_{n_0}. \]

故\(A\subset \bigcup_{n=1}^\infty A_n\)。

(2)由于\(\forall n\)，\(|f(x)|>\frac{1}{n}>0\)，所以\(\{x:|f(x)|>\frac{1}{n}\}\subset\{x:|f(x)|>0\}\)，即

\[\bigcup_{n=1}^{\infty}\{x:|f(x)|>\frac{1}{n} \}\subset \{x:|f(x)|>0\}. \]

反之，若\(|f(x)|>0\)，则存在某\(\delta\)使得\(|f(x)|>\delta>0\)，取\(n=[\frac{1}{\delta}]+1\)即得\(|f(x)|>\frac{1}{n}\)，所以

\[\{x:|f(x)|>0\}\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}\{x:|f(x)|>\frac{1}{n} \}. \]

(3)可以用类似于(2)的过程证明，也可以直接对(2)使用De Morgan率而得。

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例2

设\(f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的单调函数，证明它的间断点集\(J\)可以表示成

\[J=\bigcup_{k=1}^\infty\left\{x:|f(x+0)-f(x-0)|>\frac{1}{k} \right\}. \]

单调函数的间断点都是跳跃的，且必有单侧极限\(f(x+0)\)和\(f(x-0)\)。由例1，有

\[J=\{x:|f(x+0)-f(x-0)|>0 \}, \]

其中，\(\{x:|f(x+0)-f(x-0)|>0\}\)就代表了\(f\)的跳跃间断点集合。

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例3

若\(A_n=[n,\infty)\)，则\(\lim\limits_{n\to \infty}A_n=\varnothing\)。

容易验证，这里\(A_n\)是单减集合序列，所以

\[\lim_{n\to \infty}A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n, \]

对任何\(x\in \mathbb{R}\)，\(\exists n_0>x\)，所以\(x\notin A_{n_0}\)，故\(x\notin \lim\limits_{n\to\infty}A_n\)。

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例4

设\(\mathbb{R}\)中有实值函数列

\[f_1(x)\le \cdots\le f_n(x)\le \cdots,\quad \lim_{n\to \infty}f_n(x)=f(x), \]

作集合列

\[E_n=\{x:f_n(x)>t\}, \]

则\(E_1\subset E_2\subset \cdots\)，且

\[\lim_{n\to \infty}E_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{x:f_n(x)>t \}=\{x:f(x)>t \}. \]

解：由于\(\{f_n(x)\}\)递增，所以\(f_{n+1}(x)\ge f_n(x)>t\)，即\(E_n\subset E_{n+1}\)，\(\{E_n\}\)是单增集合序列。

由于\(\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=f(x)\)，所以\(f(x)>f_n(x)>t\)，故\(\forall n\)，\(\{x:f_n(x)>t\}\subset \{x:f(x)>t \}\)，

\[\bigcup_{n=1}^{\infty}\{x:f_n(x)>t\}\subset \{x:f(x)>t\} \]

另一边，\(\forall \varepsilon\)，\(\exists N\)使得\(\forall n\ge N\)，\(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\)。若\(f(x)>t\)，则存在一个\(\varepsilon\)使得

\[f(x)>f(x)-\varepsilon>t, \]

对这个\(\varepsilon\)，存在\(n_0\)使得\(f_{n_0}(x)>f(x)-\varepsilon>t\)，所以

\[\{x:f(x)>t\}\subset \bigcup_{n=1}^\infty \{x:f_n(x)>t\}. \]

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例5

设\(f(x)\)是\(\mathbb{R}\)上的实值函数。

(1)若记\(A_n=\{x:|f(x)|<n\}\)，则\(A_n\)是递增集合序列，且

\[\lim_{n\to \infty} A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\mathbb{R}. \]

(2)若记\(B_n=\{x:|f(x)|<\frac{1}{n} \}\)，则\(B_n\)是递减集合序列，且

\[\lim_{n\to\infty}B_n=\bigcap_{n=1}^\infty B_n=\{x:f(x)=0\}. \]

(3)若\(f\)是单调函数，记\(C_n=\{x:|f(x+0)-f(x-0)|\ge\frac{1}{n}\}\)，则\(C_n\)是递增集合序列，且

\[\lim_{n\to \infty}C_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}C_n=J, \]

这里\(J\)为\(f\)的间断点集。

本题是例1、例2、例3与极限的结合，证明过程与前述题目完全相同。

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例6

设\(E,F\)是两个集合，作集合序列

\[A_n=\left\{\begin{array}l E,& n为奇数;\\ F,& n为偶数. \end{array} \right.(n=1,2,\cdots) \]

证明：

\[\underline{\lim}\limits_{n\to \infty} A_n=E\cap F;\quad \overline{\lim}\limits_{n\to \infty}A_n=E\cup F. \]

对于前者，\(\forall x\in E\cap F\)，等价于\(\forall n\)，\(x\in A_n\)，所以

\[x\in \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\Rightarrow x\in\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k=\underline{\lim}\limits_{n\to \infty}A_n; \]

反之，若\(x\)在下极限内，则\(\exists n_0\)，使得

\[x\in \bigcap_{k=n_0}^{\infty}A_k=E\cap F. \]

对于后者，\(\forall x\in E\cup F\)，等价于\(\forall n\)，\(x\in A_n\cup A_{n+1}\)，所以\(\forall n\)，

\[x\in A_n\cup A_{n+1}\subset \bigcup_{k=n}^{\infty}A_k\Rightarrow x\in\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k=\underline{\lim}\limits_{n\to\infty}A_n. \]

反之，若\(x\)在上极限内，则\(\forall n\)，\(x\in\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k=E\cup F\)。

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例7

设\(f(x)\)，\(\{f_n(x)\}\)是\(\mathbb{R}\)上的实值函数，试证明

\[\{x:\lim_{n\to \infty}f_n(x)=f(x)\}=\bigcap_{j=1}^\infty\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^\infty \{x:|f_k(x)-f(x) |<\frac{1}{j}\}. \]

令\(A_{n,j}=\{x:|f_n(x)-f(x)|<\frac{1}{j} \}\)，则对固定的\(j\)，

\[\underline{\lim}\limits_{n\to \infty} A_j=\{x:|f_k(x)-f(x)|<\frac{1}{j} \}. \]

\(\forall x\in\{x:\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=f(x) \}\)，有\(\forall j\)，\(\exists N_j\)，使得\(n\ge N_j\)时\(|f_n(x)-f(x)|<\frac{1}{j}\)，即只有有限个\(n\)使得\(x\notin A_{n,j}\)，故

\[x\in \underline{\lim}\limits_{n\to \infty} A_{n,j}. \]

因此

\[x\in\bigcap_{j=1}^\infty\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^{\infty}\{x:|f_k(x)-f(x)|<\frac{1}{j} \}. \]

反之，若

\[x\in\bigcap_{j=1}^\infty\underline{\lim}\limits_{n\to \infty}A_{n,j}, \]

则\(\forall j\in \mathbb{N}\)，\(x\in\underline{\lim}\limits_{n\to \infty}A_{n,j}\)，这等价于只有有限个\(n\)使得\(x\notin A_{n,j}\)，令这些\(n\)中最大的为\(N\)，则当\(n\ge N\)时，\(x\in A_{n,j}\)，即\(|f_n(x)-f(x)|<\frac{1}{j}\)。由此，\(\forall \varepsilon>0\)，取\(j=[\frac{1}{\varepsilon}]+1\)，即有

\[|f_n(x)-f(x)|<\frac{1}{j}<\frac{1}{\varepsilon}, \]

因此\(\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=f(x)\)，即

\[x\in\{x:\lim_{n\to \infty}f_n(x)=f(x) \}. \]