【实变函数】证明（三）

证明3

3-1

设\(f(x)\)是可测集\(E\)上的函数，\(D\)是\(\mathbb{R}\)中的稠密集。若\(\forall r\in D\)，\(\{x:f(x)>r\}\)是可测集，则\(f\)是可测函数。

对任意\(t\in \mathbb{R}\)，由\(D\)稠密，可以选取\(D\)上的点集\(r_k\ge t\)，且\(\displaystyle{\lim_{k\to \infty}r_k=t}\)，有

\[\{x:f(x)>t\}=\bigcup_{k=1}^{\infty}\{x:f(x)>r_k\}, \]

这说明\(\{x:f(x)>t\}\)是可测集，从而\(f\)是可测函数。·

3-2

证明：

1. \(\mathbb{R}\)上的连续函数、单调函数都是可测函数。

2. 若\(f,g\)是\(E\)上的实值可测函数，则\(cf(x),f(x)+g(x),f(x)g(x)\)都是\(E\)上的可测函数。

3. 对\(E\)上的可测函数列\(\{f_k(x)\}\)，下列函数均是\(E\)上的可测函数。

   \[\sup_{k\ge 1}\{f_k(x)\},\quad \inf_{k\ge 1}\{f_k(x)\},\quad \varlimsup_{k\to \infty}f_k(x),\quad \varliminf_{k\to \infty}f_k(x). \]

   从而若\(f_k(x)\)存在极限函数，它也是可测函数。

4. 对\((a,b)\)上的实值函数\(f(x)\)，其上下导数\(\overline{D}f,\underline{D}f\)均是\((a,b)\)上的可测函数。

   \[\overline{D}f(x)=\varlimsup_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x},\\ \underline{D}f(x)=\varliminf_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}. \]

   从而若\(f(x)\)可微，则\(f'(x)\)是\((a,b)\)上的可测函数。

5. 对\(\mathbb{R}^2\)上的实值函数\(f(x,y)\)，固定\(x\)时\(f(x,y)\)是\(y\in \mathbb{R}\)上的连续函数，固定\(y\)时\(f(x,y)\)是\(x\in \mathbb{R}\)上的可测函数，则\(f(x,y)\)是\(\mathbb{R}^2\)上的可测函数。

6. 设\(f(x)\)是\(\mathbb{R}^{1}\)上的连续函数，\(g(x)\)是\(\mathbb{R}^1\)上的实值可测函数，则复合函数\(h(x)=f(g(x))\)是\(\mathbb{R}^1\)上的可测函数。

1. 对于连续函数，可以证明\(\{x:f(x)>t\}\)是一个开集，从而是可测集。对于单调函数，\(\{x:f(x)>t\}\)必定是单点集、区间、空集之一，从而是可测集。

2. 若\(c>0\)，则\(\{x:cf(x)>t\}=\{x:f(x)>c^{-1}t\}\)；若\(c<0\)，则\(\{x:f(x)>t\}=\{x:f(x)<c^{-1}t\}\)；若\(c=0\)，则\(\{x:cf(x)>t\}\)是全集或空集。从而\(cf(x)\)可测。

   对于\(f(x)+g(x)\)，可取\(\mathbb{R}\)上一个稠密集如\(\mathbb{Q}=\{r_i\}\)，那么

   \[\{x:f(x)+g(x)>t\}=\bigcup_{i=1}^{r}\{x:f(x)>r_i\}\cap\{x:g(x)>t-r_i\}. \]

   从而\(f(x)+g(x)\)可测。

   对于\(f(x)g(x)\)，首先\(f^2(x)\)可测，因

   \[\{x:f^2(x)>t\}=\left\{\begin{array}{} E,& t<0;\\ \{x:f(x)>\sqrt{t}\}\cup\{x:f(x)<-\sqrt{t}\},& t\ge 0. \end{array}\right. \]

   再结合\(\displaystyle{f(x)g(x)=\frac{[f(x)+g(x)]^2-[f(x)-g(x)]^2}{4}}\)即得\(f(x)g(x)\)可测。

3. 对\(\displaystyle{\sup_{k\ge 1}\{f_k(x)\}}\)，有

   \[\{x:\sup_{k\ge 1}\{f_k(x)\}>t\}=\bigcup_{k=1}^{\infty}\{x:f_k(x)>t\}, \]

   从而可测。

   对于\(\displaystyle{\inf_{k\ge 1}\{f_k(x)\}}\)，有\(\displaystyle{\inf_{k\ge 1}\{f_k(x)\}=-\sup_{k\ge 1}\{-f_k(x)\}}\)，所以可测。

   对于\(\displaystyle{\varlimsup_{k\to \infty}f_k(x)}\)，有\(\displaystyle{\varlimsup_{k\to \infty}f_k(x)=\inf_{k\ge 1}\sup_{n\ge k}f_k(x)}\)，从而可测。

   对于\(\displaystyle{\varliminf_{k\to\infty}f_k(x)}\)，有\(\displaystyle{\varliminf_{k\to \infty}f_k(x)=-\varlimsup_{k\to \infty}(-f_k(x))}\)，从而可测。

4. 对\(\overline{D}f(x)\)，考察点集

   \[D=\{x\in(a,b):\overline{D}f(x)>t\},\quad t\in \mathbb{R}. \]

   设对\(m,n\)，作区间\([x_1,x_2]\subset (a,b)\)，使得

   \[|x_2-x_1|<\frac{1}{m},\quad \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>t+\frac{1}{n}, \]

   记所有满足此要求的区间的并集为\(E_{m,n}\)，下证\(\displaystyle{E\xlongequal{def}\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=1}^{\infty}E_{m,n}=D}\)。

   若\(x\in D\)，则存在\(n_0\)使\(\overline{D}f(x)>t+\dfrac{1}{n_0}\)，从而对每个\(m\)，有\(y\in(a,b)\)使得

   \[0<|y-x|<\frac{1}{m},\quad \frac{f(y)-f(x)}{y-x}>t+\frac{1}{n_0}, \]

   即\(x\in E_{m,n_0}\)，即\(x\in E\)。反之若\(x\in E\)，则存在\(n_0\)使得\(\displaystyle{x\in \bigcap_{m=1}^{\infty}E_{m,n_0}}\)，即对每个\(m\)，存在\([x_1,x_2]\)，\(x\in[x_1,x_2]\)，使得

   \[|x_2-x_1|<\frac{1}{m},\quad \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>t+\frac{1}{n_0}, \]

   于是总有\(\displaystyle{\frac{f(x_1)-f(x)}{x_1-x}>t+\frac{1}{n_0}}\)或\(\displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}>t+\frac{1}{n_0}}\)，即存在\(y\in (a,b)\)，使得\(0<|y-x|<\dfrac{1}{m}\)，\(\displaystyle{\frac{f(y)-f(x)}{y-x}>t+\frac{1}{n_0}}\)，即\(\overline{D}f(x)>t\)，\(x \in D\)。由此\(D\)是可测集，也就是说\(\overline{D}f(x)\)可测，同理\(\underline{D}f(x)\)可测。

5. 对每个\(n\in \mathbb{N}^+\)，作

   \[f_n(x,y)=f\left(x,\frac{k}{n} \right),\quad \frac{k-1}{n}<y\le \frac{k}{n},\quad n\in \mathbb{N}^+. \]

   于是因\(f(x,y)\)关于\(y\)连续，\(\displaystyle{\lim_{n\to \infty}f_n(x,y)=f(x,y)}\)。又

   \[\{(x,y):f_n(x,y)<t\}=\bigcup_{k=-\infty}^{\infty}\left\{x:f\left(x,\frac{k}{n} \right)<t \right\}\times\left(\frac{k-1}{n},\frac{k}{n} \right], \]

   从而\(f_n(x,y)\)是\(\mathbb{R}^2\)上的可测函数，从而\(f(x,y)\)可测。

3-3

证明Egoroff定理：设\(m(E)<\infty\)，在\(E\)上\(f_k(x)\to f(x),\mathrm{a.e.}\)。任给\(\delta>0\)，存在\(E\)的可测子集\(E_{\delta}\)使\(m(E_\delta)\le \delta\)，且\(\{f_k(x)\}\)在\(E\setminus E_{\delta}\)上一致收敛于\(f(x)\)。

固定\(\varepsilon>0\)，定义

\[E_k(\varepsilon)=\{x\in E:|f_k(x)-f(x)|>\varepsilon\}. \]

我们知道\(E_k(\varepsilon)\)的上极限中的\(x\)会在无限个\(E_{k}(\varepsilon)\)中出现，从而一定不收敛，结合\(f_k(x)\)几乎处处收敛于\(f(x)\)，有

\[m\left(\bigcap_{j=1}^{\infty}\bigcup_{k=j}^{\infty}E_k(\varepsilon) \right)=\lim_{j\to \infty}m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty}E_k(\varepsilon) \right). \]

这里实际上隐含了\(m(E)<\infty\)的条件。

现在，分别取\(\varepsilon_{i}=\dfrac{1}{i}\)，结合\(\displaystyle{\lim_{j\to \infty}m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty}E_k\left(\frac{1}{i} \right) \right)}\)，对每个\(i\)可找到一个\(j_i\)，使得

\[\displaystyle{m\left(\bigcup_{k=j_i}^{\infty}E_k\left(\frac{1}{i} \right) \right)<\frac{\delta}{2^i}}. \]

这时令\(\displaystyle{E_{\delta}=\bigcup_{i=1}^{\infty}\bigcup_{k=j_i}^{\infty}E_k\left(\frac{1}{i} \right)}\)，就有\(m(E_{\delta})<\delta\)。最后，我们要证明在\(E\setminus E_{\delta}\)上\(\{f_k(x)\}\)一致收敛于\(f(x)\)，首先注意到

\[E\setminus E_{\delta}=\bigcap_{i=1}^{\infty}\bigcap_{k=j_i}^{\infty}\left\{x\in E:|f(x)-f_k(x)|<\frac{1}{i} \right\}. \]

由于任给\(\varepsilon>0\)，总存在\(i\)使得\(\dfrac{1}{i}<\varepsilon\)，因此当\(k\ge j_i\)时，就有

\[|f_k(x)-f(x)|<\frac{1}{i}<\varepsilon,\quad x\in E\setminus E_{\delta}. \]

3-4

证明Riesz定理：依测度收敛的函数列必有几乎处处收敛的子列。

此时对每一\(k\ge 1\)，由于\(\displaystyle{\lim_{n\to \infty}m\left(\left\{x:|f_n(x)-f(x)|>\frac{1}{2^{k}} \right\}\right)=0}\)，故存在\(n_k\)使得

\[m\left(\left\{x:|f_{n_k}(x)-f(x)|>\frac{1}{2^{k}} \right\} \right)<\frac{1}{2^{k}}. \]

由依测度收敛的定义，我们可以取\(\{n_k\}\)为递增数列。现证\(f_{n_k}(x)\)几乎处处收敛于\(f(x)\)，找出不收敛的点，令

\[E_0=\bigcap_{i=1}^{\infty}\bigcup_{k=i}^{\infty}\left\{x:|f_{n_k}(x)-f(x)|>\frac{1}{2^k} \right\}, \]

即上极限集，由于\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}m\left(\left\{x:|f_{n_k}(x)-f(x)|>\frac{1}{2^{k}} \right\}\right)<\infty}\)，所以上极限集零测，即\(m(E_0)=0\)。而

\[E\setminus E_0=\bigcup_{i=1}^{\infty}\bigcap_{k=i}^{\infty}\left\{x:|f_{n_k}(x)-f(x)|\le \frac{1}{2^{k}} \right\}, \]

\(\forall x\in E\setminus E_0\)，总有某\(i\ge 1\)使\(\displaystyle{x\in \bigcap_{k=i}^{\infty}\left\{x:|f_{n_k}(x)-f(x)|\le \frac{1}{2^{k}} \right\}}\)，也即\(|f_{n_k}(x)-f(x)|<\dfrac{1}{2^{k}}\)，\(k\ge i\)，这说明\(f_{n_k}(x)\)几乎处处收敛于\(f(x)\)。

3-5

证明Lebesgue定理：若\(m(E)<\infty\)，则几乎处处收敛蕴含依测度收敛。

由于\(m(E)<\infty\)，由Egoroff定理，\(\forall \delta\ge 0\)，存在\(E\)的可测子集\(E_{\delta}\)使\(m(E_{\delta})<\delta\)，且在\(E\setminus E_{\delta}\)上\(\{f_k(x)\}\)一致收敛于\(f(x)\)。因此\(\forall \varepsilon>0\)，存在某\(N\)使得\(k\ge N\)时，有

\[|f_k(x)-f(x)|<\varepsilon, \]

也即

\[m(\{x:|f_k(x)-f(x)|>\varepsilon\})<\delta. \]

由于对任何\(\delta\)，总能找到这样的\(N\)，因此固定\(\varepsilon\)时令\(\delta\to 0\)，就有\(\{f_{n_k}(x)\}\)依测度收敛于\(f(x)\)。

3-6

证明：依测度Cauchy列必依测度收敛于某一函数。

对每一\(i\)，可取\(k_i\)，使得\(l,j\ge k_i\)时有

\[m\left(\left\{x\in E:|f_l(x)-f_j(x)|\ge\frac{1}{2^{i}} \right\} \right)<\frac{1}{2^i}, \]

我们可假定\(\{k_i\}\)严格递增，令

\[E_i=\left\{x\in E:|f_{k_i}(x)-f_{k_{i+1}}(x)|\ge\frac{1}{2^{i}} \right\},\quad i=1,2,\cdots, \]

则\(m(E_i)<2^{-i}\)，故\(\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty} m(E_i)<\infty}\)，故其上极限集设为\(S=\displaystyle{\bigcap_{j=1}^{\infty}\bigcup_{i=j}^{\infty}E_i}\)，满足\(m(S)=0\)。现若\(x\notin S\)，则存在\(j\)使得

\[x\in E\setminus \bigcup_{i=j}^{\infty}E_i. \]

从而当\(i\ge j\)时，有\(|f_{k_{i+1}}(x)-f_{k_i}(x)|<2^{-i}\)，故\(l\ge j\)时有

\[\sum_{i=l}^{\infty}|f_{k_{i+1}}(x)-f_{k_i}(x)|\le \frac{1}{2^{l-1}}, \]

这说明级数

\[f_{k_1}(x)+\sum_{i=1}^{\infty}[f_{k_{i+1}}(x)-f_{k_i}(x)] \]

在\(E\setminus S\)上绝对收敛，因而\(\{f_{k_i}(x)\}\)在\(E\)上几乎处处收敛，设\(\{f_{k_i}(x)\}\)收敛于\(f(x)\)。我们知道\(\{f_{k_i}(x)\}\)在\(\displaystyle{E\setminus \bigcup_{i=j}^{\infty}E_i}\)上一致收敛于\(f(x)\)，而\(\displaystyle{m\left(\bigcup_{i=j}^{\infty}E_i \right)<2^{-(j-1)}}\)，与Riesz定理类似推断，\(\{f_{k_i}(x)\}\)在\(E\)上依测度收敛于\(f(x)\)。

最后，有

\[\begin{aligned} &\quad m(\{x\in E:|f_k(x)-f(x)|\ge \varepsilon\})\\ &\le m\left(\left\{x\in E:|f_k(x)-f_{k_i}(x)|\ge \frac{\varepsilon}{2} \right\} \right)+m\left(\left\{x\in E:|f_{k_i}(x)-f(x)|\ge \frac{\varepsilon}{2} \right\} \right), \end{aligned} \]

知道\(\{f_k(x)\}\)依测度收敛于\(f(x)\)。

3-7

Lusin定理：若\(f(x)\)是\(E\subset \mathbb{R}^n\)上几乎处处有限的可测函数，则\(\forall \delta>0\)，存在\(E\)中的闭集\(F\)使得\(m(E\setminus F)<\delta\)，\(f(x)\)在\(F\)上连续。

首先考虑\(f(x)\)是可测简单函数的情形，此时\(f(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{p}c_i\chi_{E_i}(x)}\)。 对任给的\(\delta>0\)，可作\(E_i\)中的闭集\(F_i\)，使得\(m(E_i\setminus F_i)<\dfrac{\delta}{p}\)。因为当\(x\in F_i\)时\(f(x)=c_i\)，所以\(f(x)\)在\(F_i\)上连续，而\(F_1,\cdots,F_p\)是互不相交的，所以\(f(x)\)在\(F=\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{p}F_i}\)上连续，显然\(F\)是闭集，\(m(E\setminus F)<\delta\)。

其次考虑一般可测函数\(f(x)\)，由于可作变换\(g(x)=\dfrac{f(x)}{1+|f(x)|}\)使得\(f(x)\)的连续性不变，因此不妨假定\(f(x)\)是有界函数。现存在可测简单函数列\(\{\varphi_k(x)\}\)在\(E\)上一致收敛于\(f(x)\)，对任给\(\delta>0\)及每个\(\varphi_k(x)\)，作\(E\)中的闭集\(F_k\)使\(m(E\setminus F_k)<\dfrac{\delta}{2^{k}}\)，\(\varphi_k(x)\)在\(F_k\)上连续。令

\[F=\bigcap_{k=1}^{\infty}F_k, \]

则\(F\subset E\)，且\(m(E\setminus F)<\delta\)。因每个\(\varphi_k(x)\)在\(F\)上连续，且\(\varphi_k(x)\)一致收敛于\(f(x)\)，所以\(f(x)\)在\(F\)上连续。

3-8

连续延拓：若\(F\)是\(\mathbb{R}^n\)中的闭集，\(f(x)\)是定义在\(F\)上的连续函数且\(|f(x)|\le M\)，则存在\(\mathbb{R}^{n}\)上的连续函数\(g(x)\)满足\(|g(x)|\le M\)且\(x\in F\)时，\(g(x)=f(x)\)。

作

\[A=\left\{x\in F:\frac{M}{3}\le f(x)\le M \right\},\\ B=\left\{x\in F:-M\le f(x)\le -\frac{M}{3} \right\},\\ C=\left\{x\in F:-\frac{M}{3}<f(x)<\frac{M}{3} \right\}. \]

并作

\[g_1(x)=\left(\frac{M}{3} \right)\frac{d(x,B)-d(x,A)}{d(x,B)+d(x,A)}. \]

\(g_1(x)\)满足：

• \(g_1(x)\)在\(\mathbb{R}^n\)处处有定义，且连续。
• \(|g_1(x)|\le \dfrac{M}{3}\)，\(x\in \mathbb{R}\)。
• \(|f(x)-g_1(x)|\le \dfrac{2M}{3}\)，\(x\in F\)。

在\(F\)上考察\(f(x)-g_1(x)\)，类似构造\(g_2(x)\)，并以此类推构造出连续函数列\(\{g_k(x)\}\)，它们满足：

\[|g_k(x)|\le \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3} \right)^{k-1}M,\quad x\in \mathbb{R}^n;\\ \left|f(x)-\sum_{i=1}^{k}g_i(x) \right|\le \left(\frac{2}{3} \right)^{k}M,\quad x\in F. \]

第一式表明\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}g_k(x)}\)一致收敛，第二式表明\(g(x):=\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}g_k(x)=f(x)}\)，\(x\in F\)，这就得到了延拓的连续函数\(g(x)\)。