【实变函数】证明（二）
证明2
2-1
单点的外测度为\(0\)，矩体的外测度为它的体积。
单点集的外测度为\(0\)是因为，可作一开矩体，使得\(x_0\in I\)且\(|I|\)任意小。
设\(I\)是\(\mathbb{R}^n\)中的开矩体，现证明\(m^*(\overline{I})=|\overline{I}|\)。对任意\(\varepsilon>0\)，总可以作一开矩体\(J\supset \overline{I}\)且\(|J|<|\overline{I}|+\varepsilon\)，由\(\varepsilon\)的任意性得\(m^*(I)\le |\overline{I}|\)。现设\(\{I_k\}\)是\(\overline{I}\)的任意\(L-\)覆盖，由有限子覆盖定理，存在\(\{I_k\}\)的有限子覆盖\(\{I_{k_j}\}\)使得
所以\(|\overline{I}|\le m^*(I)\)，综上\(m^*(\overline{I})=|\overline{I}|\)。
再证明\(m^*(I)=|I|\)，类似证明可以得到\(m^*(I)\le |I|\)，而\(|I|=|\overline{I}|\le m^*(I)\)，即\(|I|=m^*(I)\)。
2-2
证明可测集的三个定义方式等价。
卡氏条件：设\(E\subset \mathbb{R}^n\)，若对任意的点集\(T\subset \mathbb{R}^n\)，有
\[m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c), \]就称\(E\)为可测集。
开集：设\(E\subset \mathbb{R}^n\)，若对任意\(\varepsilon>0\)，存在开集\(G\supset E\)使得\(m^*(G-E)<\varepsilon\)，则\(E\)是可测集。
闭集：设\(E\subset \mathbb{R}^n\)，若对任意\(\varepsilon>0\)，存在闭集\(F\subset E\)使得\(m^*(E-F)<\varepsilon\)，则\(E\)是可测集。
证明\(1,2,3\)是等价的，\(4,5\)的等价性很容易从\(2,3\)推出。
\(1\to 2\)：
先设\(m^*(E)<\infty\)，可找到\(E\)的\(L-\)覆盖使得\(E\subset \displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty} I_n}\)且\(m^*(E)+\varepsilon>\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} |I_n|}\)，令\(G=\displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty} I_n}\)，那么
对一般的可测集，只需令\(E_n=E\cap [n,n+1)\)，那么\(E_n\)就是测度有限且互不相交的可测集列，\(E=\displaystyle{\bigcup_{n}E_n}\)，对每个\(n\)都可以找到\(E_n\subset G_n\)，且\(m(G_n-E_n)<\dfrac{\varepsilon}{2^{|n|+2}}\)，令\(G=\displaystyle{\bigcup_{n=-\infty}^{\infty}G_n}\)，那么
\(2\to 1\)：
此时对任何\(n\ge 1\)，有包含\(E\)的开集\(G_n\)，使\(m^*(G_n-E)<\dfrac{1}{n}\)，令\(G=\displaystyle{\bigcap_{n=1}^{\infty}G_n}\)，则\(G\)是包含\(E\)的可测集，所以
即\(m^*(G-E)=0\)，从而\(G-E\)可测，即\(E=G-(G-E)\)可测。
\(1\to 3\)：
若\(E\)可测，则\(E^c\)可测，所以有包含\(E^c\)的开集\(G\)使得\(m(G-E^c)<\varepsilon\)，令\(F=G^c\)，由\(G-E^c=E-G^c\)可得\(m(E-F)<\varepsilon\)。
\(3\to 1\)：
类似有\(F_n\)使\(m^*(E-F_n)<\dfrac{1}{n}\)，令\(\displaystyle{F=\bigcup_{n=1}^\infty}F_n\)，可得\(m^*(E-F)=0\)，从而\(E-F\)可测，即\(E=F\cup(E-F)\)可测。
2-3
证明：
- 零测集可测。
- 可测集关于有限交并补差可测。
- 可测集的可列并、可列交可测。
- 证明集合测度的可列可加性。
- Borel集可测。
-
对于零测集\(E\)，有
\[m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c)=m^*(T\cap E^c)\le m^*(T), \]从而\(E\)可测。
-
先证明\(E^c\)可测，因\(E\)可测有
\[m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c)=m^*(T\cap E^c)+m^*(T\cap (E^c)^c)=m^*(T). \]证明\(E_1\cup E_2\)可测，有
\[\begin{aligned} m^*(T)&\le m^*(T\cap (E_1\cup E_2))+m^*(T\cap(E_1\cup E_2)^c)\\ &=m^*(T\cap (E_1\cup E_2))+m^*((T\cap E_1^c)\cap E_2^c)\\ &\stackrel{?}\le m^*((T\cap E_1)\cap E_2)+m^*((T\cap E_1)\cap E_2^c)\\ &\quad +m^*((T\cap E_1^c)\cap E_2)+m^*((T\cap E_1^c)\cap E_2^c)\\ &=m^*(T\cap E_1)+m^*(T\cap E_1^c)\\ &\le m^*(T). \end{aligned} \]这里\(?\)处是因为\(E_1\cup E_2=(E_1\cap E_2)\cup (E_1\cap E_2^c)\cap (E_1^c\cap E_2)\)，也就是
\[T\cap (E_1\cup E_2)=[T\cap (E_1\cap E_2)]\cup[T\cap (E_1\cap E_2^c)]\cup [T\cap (E_1^c\cap E_2)]. \]再证明\(E_1\cap E_2\)可测，有
\[E_1\cap E_2=(E_1^c\cup E_2^c)^c, \]再根据前面证明的并、补可测即得。
-
证明可列并可测，思路是用递增集列逼近。首先，无论一列可测集是否相交，都有
\[E_1\cup E_2\cup E_3\cup\cdots=E_1\cup (E_2\setminus E_1)\cup (E_3\setminus E_2)\cup \cdots, \]从而只需要讨论一列不交可测集的并是否可测。令\(S=\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i}\)，\(S_k=\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{k}E_i}\)，则每一个\(S_k\)可测，从而
\[\begin{aligned} m^*(T)&=m^*(T\cap S_k)+m^*(T\cap S_k^c)\\ &=m^*\left(\bigcup_{i=1}^{k}T\cap E_i \right)+m^*(T\cap S_k^c)\\ &=\sum_{i=1}^{k}m^*(T\cap E_i)+m^*(T\cap S_k^c)\\ &\ge \sum_{i=1}^{k}m^*(T\cap E_i)+m^*(T\cap S^c). \end{aligned} \]令\(k\to \infty\)，由测度的次可加性，有
\[m^*(T)\ge \sum_{i=1}^{\infty}m^*(T\cap E_i)+m^*(T\cap S^c)\ge m^*(T\cap S)+m^*(T\cap S^c). \]于是\(S\)是可测集。
对可列交，只需取补集用可列并讨论即可。
-
由上一个证明我们有
\[m^*(T)\ge \sum_{i=1}^{\infty}m^*(T\cap E_i)+m^*(T\cap S^c), \]以\(T\cap S\)代替\(T\)就有
\[m^*(T\cap S)=\sum_{i=1}^{\infty}m^*(T\cap E_i), \]再取\(T=\mathbb{R}^n\)，就有
\[m(S)=\sum_{i=1}^{\infty}m(E_i). \] -
先证\(\mathbb{R}^n\)中的开矩体\(I\)是可测集。取正数列\(\delta_k\to 0\)，作含于\(I\)内的开矩体
\[I_k=(a_1+\delta_k,b_1-\delta_k)\times \cdots \times(a_n+\delta_k,b_n-\delta_k), \]对任意\(T\subset \mathbb{R}^n\)，由于\(d(T\cap I_k,T\cap I^c)\ge \delta_k>0\)，故它们的外测度可加，即
\[m^*(T)\ge m^*((T\cap I_k)\cup (T\cap I^c))=m^*(T\cap I_k)+m^*(T\cap I_c), \]我们可以先证明\(\displaystyle{\lim_{k\to \infty}m^*(T\cap I_k)=m^*(T\cap I)}\)，若记\(\eta=\max\{b_i-a_i\}\)，则可以用\(2n\)个外测度为\(\delta_k(\eta+2\delta_k)^{n-1}\)的闭矩体将点集\((T\cap I)\setminus (T\cap I_k)\)覆盖起来，从而
\[0\le m^*(T\cap I)-m^*(T\cap I_k)\le 2n\delta_k(\eta+2\delta_k)^{n-1}\to 0. \]令\(k\to \infty\)，就得到
\[m^*(T)\ge m^*(T\cap I)+m^*(T\cap I^c). \]这说明\(I\)是可测集，从而半开方体、闭方体也是可测集，再由可测集的可列并可测，可知任何Borel集都是可测集。
2-4
证明：
增集列的极限满足
\[m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k \right)=\lim_{k\to \infty}m(E_k). \]如果减集列测度有限，则
\[m\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}E_k \right)=\lim_{k\to \infty}m(E_k). \]若有可测集列\(\{E_k\}\)使得\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}m(E_k)<\infty}\)，则\(\displaystyle{m\left(\varlimsup_{k\to \infty}E_k \right)=0}\)。
-
不妨设对所有\(E_k\)都有\(m(E_k)<\infty\)（如果有一个\(E_k\)有无穷测度则结论自然成立），现
\[m(E_{k-1})+m(E_k\setminus E_{k-1})=m(E_k). \]因\(m(E_{k-1})\)有限，故
\[m(E_k\setminus E_{k-1})=m(E_k)-m(E_{k-1}), \]令\(E_0=\varnothing\)，就有
\[\lim_{k\to \infty}E_k=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k=\bigcup_{k=1}^{\infty}(E_k\setminus E_{k-1}), \]于是
\[m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k \right)=\sum_{k=1}^{\infty}m(E_k\setminus E_{k-1})=\sum_{k=1}^{\infty}[m(E_k)-m(E_{k-1})]=\lim_{k\to \infty}m(E_k). \] -
此时令\(F_k=E_1-E_k\)，则\(F_k\)是增集列，从而
\[\lim_{k\to \infty}m(F_k)=m(E_1)-\lim_{k\to \infty}m(E_k)=m\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}(E_1-E_k) \right)=m(E_1)-m\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}E_k \right), \]这意味着
\[\lim_{k\to \infty}m(E_k)=m\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}E_k \right). \] -
我们知道
\[\varlimsup_{k\to \infty}E_k=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}E_i, \]从而有
\[m\left(\varlimsup_{k\to \infty}E_k \right)=\lim_{k\to \infty}m\left(\bigcup_{i=k}^{\infty}E_i \right)\le \lim_{k\to \infty}\sum_{i=k}^{\infty}m(E_i)=0. \]
2-5
设\(E\subset \mathbb{R}^n\)，\(m(E)>0\)，则存在\(\delta_0\)，使得\(B(0,\delta_0)\subset E-E\)，这里
\[E-E\xlongequal{def}\{x-y:x,y\in E\}. \]
取\(\lambda\)满足\(1-2^{-(n+1)}<\lambda<1\)，存在开矩体\(I\)使得\(\lambda|I|<m(I\cap E)\)。记\(I\)的最短边长为\(\delta\)，作开矩体
也就是原点周围边长为\(\delta\)的正方体，如果我们能证明\(J\subset E-E\)，则\(J\)内部自然包含了\(B(0,\delta/2)\)。
要证明\(J\subset E-E\)，只要证对每个\(x_0\in J\)，点集\(E\cap I\)必与点集\(\{(E\cap I)+x_0\}\)有交点，则自然\(x_0\in E-E\)。因\(J\)是以原点为中心，边长为\(\delta\)的开矩体，所以\(I\)的平移矩体\(\{I+x_0\}\)仍然包含\(I\)的中心，从而
由此可得
但由于\(E\cap I\)与\(\{(E\cap I)+x_0\}\)有相同的测度，且都大于\(\lambda I\)，又都含于\(I\cup \{I+x_0\}\)之中，所以必定相交，这就证明了\(J\subset E-E\)。
2-6
设有定义在\(\mathbb{R}\)上的函数\(f\)，满足
\[f(x+y)=f(x)+f(y),\quad x,y\in \mathbb{R}, \]且在\(E\subset \mathbb{R}\)，\(m(E)>0\)上有界，则\(f(x)=cf(1)\)。
由题设显然\(\forall r\in \mathbb{Q}\)，\(f(r)=rf(1)\)，又因为\(m(E)>0\)，故存在区间\(I\subset E-E\)。不妨设在\(E\)上\(f(x)|\le M\)，则\(\forall x\in I\)，有\(x',x''\in E\)使得\(x=x'-x''\)，则
记\(I=[a,b]\)，考察\([0,b-a]\)。若\(x\in [0,b-a]\)，则\(x+a\in [a,b]\)，从而由\(f(x)=f(x+a)-f(a)\)可知\(x\in[0,b-a]\)时，\(|f(x)|\le 4M\)。记\(b-a=c\)，上面的论述表明
已知对任何\(x\in\mathbb{R}\)以及自然数\(n\)，总存在有理数\(r\)使得\(|x-r|<c/n\)，所以
根据\(r\)的任意性，\(n\)可以无限大，从而\(|f(x)-xf(1)|\)将小于任何正数，也就是
2-7
证明：存在\([0,1]\)中的可测集\(E\)，使对于\([0,1]\)中任一开区间\(I\)，有
\[0<m(E\cap I)<m(I). \]
首先在\([0,1]\)中作类Cantor集\(H_1\)使\(m(H_1)=1/2\)。接下来，对\(H_1\)的邻接区间，也就是\(H_1^c\)的每个构成区间\(\overline{I_{1j}}\)再作类Cantor集\(H_{1j}\)，使得\(m(H_{1j})=|I_{1j}|/2^2\)，记\(H_2=\displaystyle{\bigcup_{j=1}^{\infty}H_{1j}}\)。再对\(H_1\cup H_2\)的每个邻接区间\(I_{2j}\)重复此步骤，得到一列集合\(\{H_i\}\)。令\(E=\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{\infty}H_i}\)，则\(E\)是所求的集合。
这是因为对任何区间\(I\)，由\(E\)的构造，必定有\(E\cap I\ne \varnothing\)，从而有某个\(H_i\)使得\(H_i\cap I\ne \varnothing\)，也存在某个\(I_{ij}\)内的类Cantor集使得\(H_{ij}\cap I\ne\varnothing\)。这样\(m(I_{ij}\cap I)>0\)，由\(H_{ij}\)的构造过程可知\(m(H_{ij}\cap I)>0\)，从而\(m(E\cap I)>0\)。而结合\(m(I_{ij}\cap I)>0\)，在\(I_{ij}\)中构造\(H_{ij}\)时，必定会扣掉\(I\)中的一部分区间，从而\(m(E\cap I)<m(I)\)。
