【实变函数】五、微分与积分

【实变函数】5. 微分与积分

本文主要就微积分基本定理的表现形式与成立条件进行讨论，我们将积分区域局限于\(\mathbb{R}\)。文中所提到的证明点此查看。

目录

• 【实变函数】5. 微分与积分
  • 1. 单调函数与有界变差函数
  • 2. 不定积分
  • 3. 微积分基本定理

1. 单调函数与有界变差函数

单调函数是一类基础而又重要的函数，因为我们在下面将经常使用这类函数，如不定全变差函数等。Lebesgue定理给出了单调函数的一个重要性质：几乎处处可微。

• Lebesgue定理：若\(f(x)\)是定义在\([a,b]\)上的单调上升函数，则\(f(x)\)的不可微点集为零测集，且

  \[\int_{a}^{b}f'(x)\mathrm{d}x\le f(b)-f(a). \]

  注意不等式的方向，这说明\(f'(x)\in L([a,b])\)。可以考虑阶梯函数以得到不等号成立的例子。

• 单调函数几乎处处可微，但存在零测集处\(f'(x)=\infty\)的情况，因此，此结论一般不能再被改进。

• 设\(E\subset (a,b)\)且\(m(E)=0\)，可以作\([a,b]\)上连续且单增的函数\(f(x)\)，使\(f'(x)=\infty\)，\(x\in E\)。

Lebesgue定理的证明较为繁琐，这里我们不证明\(f(x)\)几乎处处可微，只对不等式的成立进行说明。为趋近\(f'(x)\)，常取的函数是\(f_n(x)=\displaystyle{n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x) \right]}\)，并令\(x>b\)时\(f(x)=f(b)\)，这样当\(n\to \infty\)时\(f_n(x)\to f'(x)\)。另外，由于\(f\)是单增的，故\(f_n(x)\ge 0\)，\(f'(x)\ge 0\)，此时运用Fatou引理，就有

\[\begin{aligned} \int_{a}^{b}f'(x)\mathrm{d}x&\le \varliminf_{n\to \infty}\int_{a}^{b}f_n(x)\mathrm{d}x\\ &= \varliminf_{n\to \infty}n\int_{a}^{b}f\left[\left(x+\frac{1}{n} \right)-f(x)\right]\mathrm{d}x\\ &=\varliminf_{n\to \infty}\left[n\int_{b}^{b+\frac{1}{n}}f(x)\mathrm{d}x-n\int_{a}^{a+\frac{1}{n}}f(x)\mathrm{d}x \right]\\ &=\lim_{n\to \infty}\left[f(b)-n\int_{a}^{a+\frac{1}{n}}f(x)\mathrm{d}x \right]\\ &\le f(b)-f(a). \end{aligned} \]

注意这里使用了积分的平移变换。

利用此定理，可以给出Fubini逐项微分定理（证明4-1），它指出在几乎处处成立的意义下，单调函数的极限与微分可交换。

• 逐项微分：设\(\{f_n(x)\}\)是\([a,b]\)上的递增函数列，且\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)}\)在\([a,b]\)上收敛，则
  \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) \right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f_n(x),\quad \mathrm{a.e.}x\in [a,b]. \]

需要注意，对逐项微分定理成立的条件，它必须要使\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)}\)处处收敛，但最终的结果上，极限与微分只在几乎处处成立的条件下可交换。

利用逐项微分，我们可以构造出严格单增函数\(f(x)\)，它是可数个单增函数的和，但\(f'(x)=0,\mathrm{a.e.}\)。只需注意对\(\mathbb{R}\)上一个可数稠密集如\(\mathbb{Q}=\{r_n\}_{n\ge 1}\)，定义\(f_n(x)=\dfrac{1}{2^{n}}\chi_{[r_n,\infty)}\)，再取\(f(x)\)为\(f_n(x)\)的和函数即可。

有界变差函数是对单调函数的延拓，即，单调函数在全局上的变化是单一的，无论如何取区间，区间内的变化都只有一个方向；而有界变差函数则允许函数在任意位置的变化不定向，但约定：变化的总量是有限值。具体地，需要先定义函数在区间\([a,b]\)上的变差、全变差，才能定义有界变差函数，以下设\(f(x)\)是定义在\([a,b]\)上的实值函数。

• 变差：对\([a,b]\)的分划\(\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\)，定义\(f(x)\)在\([a,b]\)上关于此分划的变差为

  \[v_\Delta=\sum_{i=1}^{n}|f(x_i)-f(x_{i-1})|. \]

• 全变差：记\(f\)在\([a,b]\)上的全变差是

  \[T_{a}^{b}(f)=\bigvee_{a}^{b}(f)=\sup\{v_{\Delta}\}. \]

  这里\(\Delta\)是\([a,b]\)上的任意分划，由此定义可知\(T_{a}^{b}(f)\)不依赖于分划的选取。

• 有界变差函数：若\(T_{a}^{b}(f)<\infty\)，则称\(f(x)\)是\([a,b]\)上的有界变差函数，其全体记作\(\mathrm{BV}([a,b])\)。

容易验证，\([a,b]\)上的单调函数是有界变差函数，但连续函数却不一定是有界变差的（因连续函数的振幅可以很大）；另外如果处处可微函数的导数有界，那么此函数也有界变差。有界变差函数类关于四则运算，有如下关系：如果\(f,g\in\mathrm{BV}([a,b])\)，则\(f\pm g\)，\(fg\)也有界变差，且当\(|g|\ge \lambda>0\)时\(f/g\)也有界变差。

全变差有一个基础的性质，是变差的可拆分性，即若\(c\in[a,b]\)，则

\[T_{a}^{c}(f)+T_{c}^{b}(f)=T_{a}^{b}(f). \]

对\(f\in \mathrm{BV}([a,b])\)，我们引入不定全变差\(T_{a}^{x}(f)\)作为工具，它可以用于描绘有界变差函数的性质。易见它在\([a,b]\)上单增，且\(f(x)\)的连续点处\(T_{a}^{x}(f)\)也连续。

• 定理：若\(f\)是\([a,b]\)上的有界变差函数，则\(f(x)\)与\(T_{a}^{x}(f)\)具有相同的左连续点集与右连续点集。（证明5-2）

现在，我们可以给出有界变差函数的一系列性质，以下，设\(f\in\mathrm{BV}([a,b])\)。（证明5-3）

1. \(f(x)\)在\([a,b]\)上有界。
2. \(f(x)\)的不连续点至多可数。
3. Jordan分解：\(f(x)=g(x)-h(x)\)，这里\(g(x)\)和\(h(x)\)都是\([a,b]\)上的单增函数。
4. \(f(x)\)几乎处处可导，且\(f'(x)\)在\([a,b]\)上可积。
5. \(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}T_{a}^{x}(f)=|f'(x)|,\mathrm{a.e.}}\)。

注意，连续函数不一定是有界变差函数，这是因为函数的振幅可以在一个邻域内很大。参考以下函数：

\[f(x)=x\cos \frac{\pi}{2x},\quad f(0)=0. \]

它在\([0,1]\)上无界变差，因为对分划\(\Delta:\{\dfrac{1}{n}\}\cup \{0\}\)，当\(n\)趋向于无穷大时\(v_{\Delta}\)趋向于无穷大，但显而易见它是连续函数。

2. 不定积分

先给出不定积分的定义，不定积分，实际上就是变限积分，可类比不定全变差。

• 不定积分：设\(f\in L([a,b])\)，则\(f(x)\)的不定积分为

  \[F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t. \]

  因为\(f\in L([a,b])\)，所以\(F(x)\)总是有界。

• 连续平均：设\(f\in L([a,b])\)，称函数\(f\)在\([x,x+h]\)的连续平均为

  \[F_{h}(x)=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\mathrm{d}t. \]

• Lebesgue点：满足\(\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{0}^{h}|f(x+t)-f(x)|\mathrm{d}t=0}\)的点称为\(f(x)\)的Lebesgue点。

在Riemann积分的意义下，变上限积分的导函数就是被积函数本身，由此推得了微积分基本定理。在Lebesgue意义下，我们希望微分与积分的可逆关系仍然是成立的，但是Lebesgue积分在零测集上的取值不影响积分值，因此我们只能希望有\(F'(x)=f(x)\)几乎处处成立。定理表明，只要\(f\)是可积函数，那么这样的关系是成立的。为此，先证明可积函数连续平均的极限是\(L^1\)收敛到\(f(x)\)本身的。

• 连续平均收敛（证明5-4）：设\(f\in L([a,b])\)，\(F_{h}(x)=\displaystyle{\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\mathrm{d}t}\)，当\(x\notin [a,b]\)时\(f(x)=0\)，则

  \[\lim_{h\to 0}\int_{a}^{b}|F_h(x)-f(x)|\mathrm{d}x=0. \]

  这蕴含着\(F_{h}(x)\to f(x),\mathrm{a.e.}\)。

• 可积函数的Lebesgue点：若\(f\in L([a,b])\)，则\([a,b]\)中几乎处处是Lebesgue点。

由此，就可以证明不定积分与微分的关系。

• 定理：设\(f\in L([a,b])\)，\(F(x)\)为\(f(x)\)的不定积分，则
  \[F'(x)=f(x),\quad \mathrm{a,e.} \]

为证明此结论，首先要证明\(F(x)\)是几乎处处可导的，事实上，可积函数的不定积分是有界变差函数，这是因为对任意分划\(\Delta:\{x_i\}\)，有

\[\sum_{i=1}^{\infty}|F(x_i)-F(x_{i-1})|=\sum_{i=1}^{\infty}\left|\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)\mathrm{d}x \right|\le \sum_{i=1}^{\infty}\int_{x_i}^{x_{i+1}}|f(x)|\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}|f(x)|\mathrm{d}x<\infty. \]

而事实上，我们知道\(F'(x)=\displaystyle{\lim_{h\to 0}F_h(x)}\)，所以由Fatou引理，我们有

\[\int_{a}^{b}|F'(x)-f(x)|\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}\lim_{h\to \infty}|F_h(x)-f(x)|\mathrm{d}x\le \varliminf_{h\to \infty}\int_{a}^{b}|F_h(x)-f(x)|\mathrm{d}x=0, \]

这就说明\(F'(x)=f(x),\mathrm{a.e.}\)。

3. 微积分基本定理

在Riemann积分中，微积分基本定理指的是

\[\int_{a}^{b}F'(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a), \]

现在，令\(F(x)=\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}\)，由于\(F'(x)=f(x)\)只是几乎处处成立，所以微积分基本定理不一定成立。事实上，如果将函数类缩小到有界变差函数甚至单调函数，微积分基本定理可能依然不成立，如Cantor函数\(\Phi(x)\)是单调函数（从而有界变差），满足\(\Phi'(x)=0,\mathrm{a.e.}\)，但是\(\Phi(1)-\Phi(0)=1\)。

很多时候，这种情况源于导函数几乎处处为\(0\)的函数，其函数值不为常数。为了使微积分基本定理成立，我们需要排除这种情况，引入一种新的函数类，这就是绝对连续函数。

• 绝对连续函数：设\(f(x)\)是\([a,b]\)上的实值函数，若\(\forall \varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，使当\([a,b]\)中任意有限个互不相交的开区间\(\{(x_i,y_i)\}_{1\le i\le n}\)，当满足\(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(y_i-x_i)<\delta}\)时，就有
  \[\sum_{i=1}^{n}|f(y_i)-f(x_i)|<\varepsilon, \]
  就称\(f(x)\)是\([a,b]\)上的绝对连续函数。

绝对连续函数满足以下的性质：

1. 绝对连续函数一定是连续函数。
2. 若\(f\in L([a,b])\)，则其不定积分\(\displaystyle{F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}\)是绝对连续函数。（由\(|f(x)|\)积分的绝对连续性）
3. 若\(f(x)\)是\([a,b]\)上的绝对连续函数，则\(f(x)\in\mathrm{BV}([a,b])\)。从而\(f(x)\)在\([a,b]\)上几乎处处可微，且\(f'(x)\)可积。
4. 若\(f(x)\)满足Lipschitz条件，即\(\forall x,y\in[a,b]\)，有\(|f(x)-f(y)|\le L(x-y)\)，则\(f(x)\)是\([a,b]\)上的绝对连续函数。

接下来，我们可以指出，绝对连续函数的定义，保证了它就是我们需要的这种函数——只要导函数几乎处处为\(0\)，那么函数值就为常数。而事实上，只要排除掉导函数几乎处处为\(0\)但函数不为常值的情况，剩下的函数一定满足微积分基本定理。

• 定理（证明5-5）：若\(f'(x)=0,\mathrm{a.e.}\)，且\(f(x)\)在\([a,b]\)不是常值函数，则必存在\(\varepsilon>0\)，使得对任意\(\delta>0\)，\([a,b]\)内存在有限个互不相交的区间\(\{(x_i,y_i)\}_{1\le i\le n}\)，满足\(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(y_i-x_i)<\delta}\)，但

  \[\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}|f(y_i)-f(x_i)|>\varepsilon}. \]

• 推论：若\(f(x)\)是\([a,b]\)上的绝对连续函数且\(f'(x)=0,\mathrm{a.e.}\)，则\(f(x)\equiv c\)。

• 微积分基本定理：若\(f(x)\)是\([a,b]\)上的绝对连续函数，则

  \[f(x)-f(a)=\int_{a}^{x}f'(t)\mathrm{d}t,\quad x\in[a,b]. \]

有了上面的一系列推断，微积分基本定理的结论是一个很自然的结果。首先，由于\(f(x)\)是绝对连续，从而\(f'(x)\)必定是可积的，故可以令\(g(x)=\displaystyle{\int_{a}^{x}f'(t)\mathrm{d}t}\)，这是一个不定积分，从而由不定积分与微分的基本关系可知\(g'(x)=f'(x),\mathrm{a.e.}\)，也就是\(g'(x)-f'(x)=0,\mathrm{a.e.}\)。又因为绝对连续函数构成一个线性空间，所以\(g(x)-f(x)\)是绝对连续函数，根据上述定理有\(g(x)\equiv f(x)\)，这就证明了结论。同时，微积分基本定理也是可逆的，即若\(f(x)\)具有形式\(\displaystyle{f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}g(t)\mathrm{d}t}\)，那么\(f(x)\)是绝对连续的。

最后，我们给出一个判定函数是否绝对连续的定理。

• 定理：若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可微，且\(f'(x)\in L([a,b])\)，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上绝对连续。